再论由一组相切的圆的半径而引出的一组数列

笔者曾在《黔东南民族师专学报》（自然版）1996年第1 ,2期合刊上论证了由·O,（?）P1,（?）P2围成的区域中,从（?）P1起顺次相切的圆的半径构成一组数列.为下面讨论方便。设（?）O的半径为1,则（?）P1,（?）P2的半径均为1/2,那么上面那组数列是:1/2,1/3,1/6,1/（11）,…,通项是:1/（n2+2）=0,1,2,…).现在问题是在这组两丙相切的圆中,还有没有其他一些圆的半径也构成数列?回答是肯定的.如图:由（?）O,（?）O1,（?）P2围成的区域中,从（?）P2起顺次相切的圆的半径也构成一组数列:1/2,1/6,1/（14）,1/（26）,…,其通项为1/（2n2+2n+2）（n=0,1,2,…）读者可以仿文[1]的方法给出证明.现在证明由（?）O,（?）O1,（?）P所围成的区域中,（?）O1起顺次相切的圆的半径所组成的数列.设这组圆的圆心分别为O1,O2,O3,…,On,（?）O1OP=α1,（?）O2OP=α2,（?）O3OP=α3,…,（?）OnOP=αn,先计算（?）O2的半径,设（?）O2的半径为x,由余弦定理。

由一组相切的圆的半径而引出的一组数列

“已知如图各圆两两相切,⊙O的半径为2R,⊙O1,⊙O2的半径为R,注⊙O的半径。”这道题是义务教育三年制初中教科书《几何》（第三册）（人教版）第152页的第5题。为以下讨论方便,我们设⊙O的半径为R,则四⊙O1,⊙O2的半径为r/2号;并设⊙O 3的半径为r3,则由图中可知:（R/2）2+（R-R3）2=（R/2+R3）2,解得:R2=R/3（因为OO3⊥O1O2）。 现在我们对这道题进一步研究,能否求出与⊙O、⊙O1、⊙O3都相切的⊙O4的半径?回答是肯定的。设⊙O4的半径为r4,并设∠O1OO4=a,如图,则∠O3OO4=90°-a,由余弦定理得:

试论由一组相切圆的半径所构成的数列通项公式的规律性

笔者在文[2]中,提出了在一组两两相切的圆中,(如图1)任意三个相切圆所围成的区域中,从任一圆起(外圆即(?)O除外,以下不再强调)顺次相切的圆的半径都构成一组数列,且这些数列的通项都可表为1/(an^2+bn+c)的形式.其中a,b,c是整数,且a≥1.本文将揭示式中a,b,c与相关圆的半径的联系.为便于讨论,我们把文[1],[2]中给出的数列摘录如下(注:为便于统一,某些数列n原来从0开始的,已变换为n从1开始了).