集合论发展的新路径研究

集合论的概括(抽象)原则说的是,对于任意的性质或条件恰好存在一个由满足这个性质或条件的对象组成的一个集合,康托尔的朴素集合论正是基于这样一条原则建立起来的。对象和集合之间的是"属于"关系,对象和性质之间的是"满足"关系,因而概括(抽象)原则可以用类似于塔斯基T模式的方式表示出来,x缀φ圮准(x),即集合φ恰好满足性质准的那些对象构成。然而,正是由于这个不加限制的概括原则,20世纪初波特兰·罗素在康托尔的朴素集合论中发现了一个悖论,即我们熟知的罗素悖论。罗素悖论的出现使得人们开始考虑对集合形成原则加以限制,增加新的公理限制集合论的朴素概括原则,这就是公理集合论的发展路径。公理化集合论是一种指向修改概括(抽象)原则拯救朴素集合论的集合论,因而其约束概括原则限制生成集合的任意性,对于维持集合论系统的协调性具有极端重要的意义。然而,随着弗协调思想和技术的发展,人们对待矛盾或不协调的态度和处理方法也在发生相应的改变,包容或容纳矛盾及不协调可以是集合论发展的一种路径选择。朴素集合论是一种不协调的理论,弗协调逻辑是唯一一类能够容纳不协调理论的逻辑类型;因此使用弗协调逻辑构造新的弗协调集合论系统是集合论发展的新路径。

弗协调集合论研究的新进展

公理化集合论建立新的公理限集合形成原则,成功地拯救了朴素集合论。这一方法极大地推动了集合论的发展,并且为经典数学奠定了基础。但是,公理化方法人为地限制集合形成原则,排除了集合论系统中有意义的罗素集和全集。20世纪60年代以来,随着弗协调思想和技术的发展,弗协调逻辑应用于集合论研究的趋势得以凸显,开拓了弗协调集合论研究的新方向。集合论研究从公理化到弗协调的转向,把朴素集合论重新推向了一个新的高度。

弗协调逻辑的五个哲学问题

在研究哲学和弗协调逻辑之间关系的过程中,与其从形式结论中提炼哲学推论,不如探究弗协调逻辑的出现和发展对那些有深厚根基的哲学问题产生何种影响。因此,拟提出若干受到弗协调逻辑发展显著影响的重要哲学问题:演绎系统中矛盾的影响;通过否定和矛盾可达致的理解;辩证法的形式化;理性概念;矛盾的指称。最后作为结论而深入研究的问题是:弗协调性内部的主要问题不是停留在实质和(或)真矛盾的存在或非存在周围(这已导致处理弗协调逻辑问题的学者们互相对立的立场),而是在我们的认知系统中避免重复出现矛盾或不协调的可能性或不可能性。这并不是倡导一种"弗协调世界观",而是试图证明我们的世界将会不可避免地产生不协调。因此,弗协调是适应人类知识内在现实性的一种途径。