一道数学竞赛题的解法

题目:现有1990堆石头,各堆中石头的块数依次为1,2,…,1990.进行如下操作:每次操作可以选定任意多堆并从其中每堆都拿走同样数目的石块.问要把所有石块都拿走,最少要操作多少次?此题是第24届全苏数学奥林匹克十一年级试题(见本刊1991年第5期).现在给出一种简捷的解法.

平行四边形的轨迹定义

多边形方程难求,难在缺乏轨迹定义。本文证明了: 命题 设线段AB∥CD,也不共线,P为同一平面上的定点。

我们在弹奏“对数”(高一、高二、高三) 音乐中的数学知识

声音是物体振动产生的,如果物体按某种规律发声,就产生乐音.乐音有一定的音阶和变化,和谐悦耳,给人以美的享受. 弦乐器依靠弦的振动产生乐音.根据物理定律,乐音的振动频率与弦长有确定的数学关系.例如,将一条弦与这条弦分成两段分别作振动,即可得到振动频率之比为2:1的两个音.经仔细分辨,它们竟然是一个谐和的八度音程. 现代钢琴的琴健就是根据上述数学规律安排的.

斜抛运动中的数学(高二、高三)

若不考虑空气阻力,在如图1所示的坐标系内,物体做斜抛运动的参数方程是 x=v0tcosα①

数学竞赛中的体育竞赛问题

(本讲适合高中) 在数学竞赛中有许多有关体育竞赛的问题,这些问题是对我们"心智”的考验.其所涉及的数学知识有方程、数论、组合数学和图论等.解决这些问题所要用到的数学方法和数学原理有整体核算法、不变量方法、数形结合和极端性原理,等等. 1 比赛场数问题 解这类问题要注意每场比赛都涉及两个队(选手).准确把握参赛各方的数量关系,才能得到正确的结果.

数学竞赛中的阶乘问题

(本讲适合高中) 我们把前n个自然数的连乘积称为n的阶乘,记作n！,即 n！=1×2×3×…×n. 另外,补充规定0！=1. 前n个自然数的和没有太多的性质供研究,而前n个自然数的积——n的阶乘则不然,关于它有许多问题需要我们探讨.

一道竞赛题的其它证法

美国第17届普特南数学竞赛有一道题: 设正整数n表为若干个1与2的和(考虑到加数顺序的区别)的各种表示法共有a(n)种,例如4=1+1+2=1+2+1=2+1+1=2+2=1+1+1+1,则a(4)=5.又设n表为大于1的整数的和(也考虑到加数顺序的区别)的各种表示法的总数是b(n),例如6=4+2=2+4=3+3=2+2+2,有b(6)=5 试证:对每一个n,a(n)= b(n+2) 本文给出两种新颖的证法.

两个映射命题的应用

在近几年的数学竞赛中,出现了许多关于有限集合上一一映射的问题,虽然这些问题的表述形式不尽相同,但是它们都要用到以下两个命题。 命题1 设有限集A={a1,a2,…,an},f是A到A上的映射.记f（x）=f（x）,fr+1（x）=f[fr（x）]（x∈A,r∈N）.则f是一一映射的充要条件是:对任意ai∈A。

自然数的排列问题

(本讲适合高中) 自然数有两种作用,其一是用于记数,其二是用于表示序号。所以,关于自然数的排列顺序问题有许多优美的结果,数学竞赛也常以此作为命题的对象。 自然数的排列顺序问题涉及到的数学知识,有数列、数论及组合数学,等等。解决此类问题要用到的数学方法和原理,有构造法、递归法、数学归纳法、排序原理、容斥原理和对应原理等。

一题多解评析

对同一问题从不同的角度进行分析,产生不同的解法,对同一问题的各种解法作点分析,看看各自的优点,常常会有意想不到的额外收获,

一个数列问题的递归解法及推广

1992年南昌市高中数学竞赛的压轴题是: 数列1,1,3,3,32,32,…,31992,31992的各项之和记为S.对于给定的自然数n,若能从数列中选取一些不同位置的项使得这些项之和恰等于n,便称为一种选项方案.和数为n的所有选项方案的种数记为f（n）.试求f（1）+f（2）+…+f（S）的值（见江西师大《中学数学研究》1992年第4期）.

数学中的“虚拟方法”

大家知道,用电脑技术可以“虚拟现实”,使实现不存在或者当时不存在的场景呈现于人们面前,并使人有身临其境的感觉.