两类绝对值方程的简便解法

解形如 |x—a|+|x—b|=2c(2c】b—a】0)或 |x—a|—|x—b|=土2c(b—a】2c】0)的方程,一般用分段讨论法、函数图象法或用其它方法求解。下面介绍一种简便的解法——中心对称法。

整除问题与组合数公式之缘

创造性教学,教活知识,灵活解题是教师的基本功.解答整除问题一般会想到余数定理及其性质,其实用高中代数课本中的组合数公式就可以简捷解答很多有关的整除问题.定理 m 个连续整数之积能被 m!整除.证明:(1)若相乘的 m 个连续整数中有一个是零,则其积为零,显然其积能被 m!整除.

用三点共线的思路巧解两类无理方程

解无理方程,一般是两边平方将无理方程转化为整式方程,但会出现难解的高次方程,把握有些无理方程的特征,联想两点间的距离公式,构造出三点共线,运用直线斜率,使方程巧妙获解。下面给出用以上思路获解的两类无理方程。

x^2+xy+y^2的变形及其应用

灵活运用代数式x2+xy+y2及其三个变形式x2+xy+y2=（x+（y/2））2+(31/3y)2≥0,x+xy+y2=x2+y2-2xycos120°,x2+xy+y2=（x-y）2+3xy≥3xy能使某些问题化生为熟、化难为易,现以高考、竞赛题为例说明如下。

学会转换的技巧

通过对题目的剖析,应用转换、联想的手段突破定势思维,往往可以简化解题的过程。本文论述了一些常用的转换技巧。

两类绝对值方程的简便解法

解形如|x-a|+|x-b|=2c(2c】b-a】0)或|x-a|-|x-b|=±2c(b-a】2c】0)的方程,一般用分段讨论法、函数图象法或用其它方法求解.下面介绍一种简便的解法——中心对称法.

巧解两类无理方程

命题1 设f（x）-g（x）=R（x）-S（x）=常数≠0,则方程（f（x））1/2+（g（x））1/2=（R（x））1/2+（S（x））1/2或（f（x））1/2-（g（x））1/2=（R（x））1/2-（S（x））1/2有实根的必要条件是f（x）=R（x）（或g（x）=S（x））命题2 设f（x）-g（x）=R（x）-S（x）=t（x）则方程（f（x））1/2+（g（x））1/2=（R（x））1/2+（S（x））1/2或（f（x））1/2-（g（x））1/2=（R（x））1/2-（S（x））1/2有实根的必要条件是t（x）=0或f（x）=R（x）（或g（x）=S（x））.证明 两个原方程（f（x））1/2±（g（x））1/2=（R（x））1/2±（S（x））1/2化为f（x）-g（x）/(f（x）1/2±（g（x））1/2=R（x）-S（x）/（R（x））1/2±（S（x））1/2

巧用直角三角形解题

巧用直角三角形或勾股定理解题,常可使比较复杂的问题简单化,它是解数学题的一种常用技巧,在教学中值得重视。它们是余弦定理,并且等号右边的三个常数1,3,4具有这样的特征于是可构造如下直角三角形. 作Rt△ABC,215页15题) 分析一般解法是。

引设数学模型解题

对有些数学问题,倘若充分地挖掘题设与结论的内在联系,把问题与某个熟知的概念、公式、定理、图形联系起来,并恰当引设数学模型。

依据曲线交点讨论方程的解

讨论某些用一般演算的方法不易或难以求解的方程的解的情况,可转化为研究两曲线的交点问题,下面列举数例。例1 解方程4x-5x-6=0。解:这个方程很难利用一般演算的方法求出其解。有些复习资料只提及它的一个解x=2,（观察法）,若用交点法求解,可以发现遗漏了另一个解。令y1=4x,y2=5x+6。

一道似是而非的题解

《中学数学方法的综合运用》,（湖南人民出版社出版,1981年8月第1版）书中第154页例3:求函数y=x+4+（5-x2）1/2的极值。书上的解法照抄如下: [解法一]: 令z=x+（5-x2）1/2,则z-x=（5-x2）1/2,从而有 x2-2zx+x2=5-x2或2x2-2zx+（z2-5）=0. 要x取实数值,必须其判别式Δ=4z2-8（z2-5）≥0. 即 z≤10,-101/2≤z≤101/2 ∴ 4-101/2≤y≤4+101/2 [解法二] 利用三角代换解法如下:

重视逆向思维 提高解题能力

逆向思维不仅可以开拓解题途径,还会大大地提高解题的灵活性。某些问题从顺向思考运算繁杂不易达到目的,若逆向考察其问题,则可使问题化难为易,化繁为简。

换元法求数列通项公式

换元法广泛的应用于解方程,证明不等式、恒等式,求极值、极限与积分,这些方面的问题大家见得多,在此不再赘述。本文补充一些用换元法求数列通项公式的例子。

对“至少”“都不能”等一类问题的解法思路

证题要抓住问题的结构与特征,以免走弯路。本文仅对“至少”、“都不能”、“不可能同时”等一类问题的证明,采用综合考虑条件式的代数和或乘积的方法。现举例如下:

解几题中的参数取值范围的求法

求解几题中的参数取值范围,因涉及的方程多,技巧性强,学生解这类问题感到困难.解这类题的关键是,在全面、科学分析题意与隐含条件的基础上,列出等价的方程、不等式组,紧扣求参数的取值范围,解这个方程、不等式组.现以椭圆上存在关于直线对称的两点的问题为例。

四面体斯坦纳定理及其应用

本文介绍斯坦纳定理的一种较优证法及其在立体几何中的应用。

巧构直角三角形解题

直角三角形的边和角之间的关系,在解题中应用很广,某些题目虽然题设中没有直接给出的直角三角形,但是它与直角三角形有着内在的联系,这时构造直角三角形往往能简化解题过程,从而使问题获得巧妙的解答,本文举例说明构造直角三角形解题。一求值例1 已知x、y、z为正数,且求x+y+z=?