一个不等式的证明与背景分析

笔者用几何画板制作课件时,偶尔发现了一个背景优美的不等式,它就是em＋en/2〉em-en/m-n〉em＋n2,其中e是自然对数的底数,m,n∈R,m〉n.

腰椎间盘突出症患者经CT三维重建引导经骶裂孔入路介入胶原酶治疗的近远期疗效分析

目的:研究在腰椎间盘突出症病人治疗中采取经CT三维重建引导经骶裂孔入路介入胶原酶的价值。方法:本院于2018年6月-2019年12月纳入108例腰椎间盘突出症患者开展研究。依据病历单双号随机选出54例予以经骶裂孔入路介入胶原酶治疗(甲组),另外54例实施经CT三维重建引导经骶裂孔入路介入胶原酶治疗(乙组),评估两组近远期疗效。结果:乙组与甲组相比,近期、远期优良率均更优,差异显著(P<0.05)。结论:在腰椎间盘突出症病人治疗中采取经CT三维重建引导经骶裂孔入路介入胶原酶,疗效确切、并发症少,安全可靠。

例说首项对数列性质的影响

对由递推式an＋1=f（an）与首项a1共同确定的数列{an}来说，首项会影响数列的性质． 例如，对于由an＋1=2an^2-11与a1共同确定的数列{an}，若a1∈[-1，1]，则可令a1=cosθ（θ∈[0，π]），推得数列{an}的通项公式是an=cos2^n-1θ；若a1∈[-1，1]，则找不到此数列的通项公式，所以首项会影响到数列的通项公式．

对两道数列求和题的几点分析思考

对题1和题2从差异分析、把握本质、公式化操作、适度变式四个角度进行分析思考，同时指出这些也是打破思维定势的重要途径．

一类有关函数不等式问题的探究

题1 设函数f（x）=lnx＋1/x,已知f（x1）=f（x2）,x2＞x1＞0.求证：x1＋x2＞2.参考答案的思路是用函数的单调性证明x1＋ x2＞2,主要步骤有：一是引入函数g（x）=f（2-x）与h（x）=f（x）-g（x）,并结合导数研究其单调性;二是证明当x＞1时h（x）＜0即f（x）＜g（x）;三是结合已知并根据以上两步推出x1＋x2＞2.详细过程类似于2010年天津高考理21题的答案,供参考.1 ALG不等式题1可借助于ALG不等式秒杀.记A=x1＋x2/2,L=x2-x1/lnx2-lnx1,G=√x1x2（其中x1,x2是不相等的正数）,ALG不等式指的是A＞L＞G（证明略）.ALG不等式有时也表示成指数形式,即不等式eb＋ea/2＞eb-ea/b-a＞ ea＋b/2（其中e是自然对数的底数）.

一高考不等式的精彩演绎

2013年陕西高考压轴题最后一问要求证明不等式①ea＋b2〈eb-ea b-a〈ea＋eb2（a〈b）（文科证左半部分,理科证右半部分）,式①的精彩之处在于其有优美而丰富的背景,如它有较为明显的导数、积分背景及算术平均—对数平均—几何平均值不等式背景,

“穿针引线法”的拓展及应用

＂穿针引线法＂（亦称＂数轴标根法＂）解高次不等式或分式不等式时,遇到重根要求＂奇穿偶不穿＂.例如f（x）=x（x-1）~2（x-2）~3,由于x=2是奇数重根,在x=2附近函数y=f（x）的图象要穿透x轴.

实现数量积实数化的6种途径

数量积的运算结果是实数,所以求数量积的关键在于其向实数转化的过程.下面就谈谈数量积实数化的常见途径.1.利用数量积的定义例1若｜a｜=5,｜b｜=4,a和b的夹角为120°,贝a·b的值是______.解根据数量积定义,得a·b=｜a｜｜b｜cosθ=5×4×（-（1/2））=-10.注利用定义将数量积实数化是最基本的方法,关键是找到两向量的模与夹角.

改编 演绎精彩

2013年陕西高考压轴题最后一问实际上给出了不等式1 ea+b/2<eb-ea/b-a<ea+eb/2(a<b)(综合文理两科),它的精彩之处在于其背景优美而丰富,如导数背景、积分背景及算术平均-对数平均-几何平均值不等式背景甚至阿达玛不等式背景等.笔者发现以式1为蓝本,从概念、背景、形变、应用等角度稍加改编,就可演绎出一些精妙绝伦的试题,一句话,改编演绎精彩!一。

正弦函数反函数初探

本文从正弦函数自身出发,对其定义域内不同的区间分别定义反函数,并以定理的形式给出这些反函数之间的联系;本文还对中学教材中的反正弦函数概念进行评价;最后指出了研究正弦函数反函数理论意义。

正弦平方差公式与倍角三角形

借助于两角和与差的正弦公式易证:sin^2χ—sin2y—sin(χ+y)sin(χ—y),对任意的χ,y∈R均成立,我们把此式叫做正弦平方差公式.如果三角形的一个内角等于另一个内角的2倍,称此类三角形为“倍角三角形”.在△ABC中,规定内角A,B,C所对的边分别为a,b.c.下面探求倍角三角形中各边之间的关系.

中位向量定理的应用及推广

1．中位向量定理 如图1．若M,N分别是空间四边形ABCD边AB,CD的中点。

类等差（比）数列的性质及应用

1．类等差数列性质及其应用 若{an}从第二项起，每一项与它的前一项的差小于（或大于）同一个常数d，则{an}叫做类等差数列，d叫类等差数列的公差．设Sn=a1＋a2＋…＋an，则类等差数列{an}具有性质：

零点与极值点重合之后

本文重点介绍了一类函数的零点与极值点重合时的一个结论，并结合高考实例给出常见应用．

2013年陕西高考压轴题不等式的五大背景

若将2013年陕西高考文理科压轴题最后一问结合起来，就得到--其中a〈b（注：e是自然对数的底数）．这个不等式蕴含了丰富的数学背景，简要分析如下．

用四点向量定理破解空间角难题

一、四点向量定理对向量a,b有a·b=（a^2＋b^2-（a-b）2）/2,从而CB·CB=（CA^2＋CB^2-B^2）/2,CA·CD=（CA^2＋CD^2-DA^2）/2,AC·BD=AC（BC＋CD）=CA·CB-CA·CD（DA^2＋CB^2-BA^2-CD^2）/2这样数量积AC·BD仅用四边形ABCD的四条边AB,BC,CD,AD的长度表示,向量夹角余弦值这类式子不再充斥在表达式中.文[1]将AC·BD=1/2（AD^2＋BC^2-AB^2-CD^2）称为四点向量定理.

聚焦以拐点处切线为背景的高考压轴题

1考情新动向题1（2018年高考全国3卷理科）已知函数f（x）=2（＋x＋ax^2）ln（1＋x）-2x.（1）若a=0,证明：当-10时,f（x）〉0;⑵略.命题组给出的标准答案如下：（1）当a=0时,f（x）=2（＋x）ln（1＋x）-2x,f′（x）=ln（1＋x）-x/1＋x.

糊涂的“移项” 不含糊的结果

笔者曾经给学生介绍了这样一道试题：题1已知f（x）=ex-lnx，求证：f（x）〉2．

以两不等式为背景的高考压轴题赏析

文[1]证明了不等式em＋n2n）①并分析了其内在背景,但没有提及它的应用.现将①式转换成对数形式。

浙江卷

理科第16题：在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知A=π/4,b^2-a^2=1/2c^2.