关于体育竞赛的数学理论——试论竞赛制度的改革

人们对体育运动的狂热爱好与对其中流弊的深恶痛绝同时存在。有些流弊来自卑劣的体育道德,有些则来自不良的竞赛制度。著名数学家莫绍揆对此颇有感触,因而从数学角度探讨了现行各种赛制的优劣,并提出了一些科学的新赛制。他的《关于体育竞赛的数学理论——试论竞赛制度的改革》阐述有据,结论合理,令人折服,堪称佳作。

试论微分的本质

最初在牛顿莱布尼兹时代人们把微分看作变元的无穷小增量；自从废除无穷小概念后，人们把ｄｆ（Ｘ）定义为当Ｈ→０时ｆ（Ｘ＋Ｈ）－ｆ（Ｘ）的主部，亦即Σｆ（ｉ）（Ｘ）ｈｉ．它是矢量Ｈ的线性式，记为Ｌ（Ｈ）．然后人们或者证明ｄｘｉ即ｈｉ，或者把ｄｘｉ定义为ｈｉ，这等式是不能接受的．因为微分除满足关系式ｄｆ（Ｘ）＝Σｆ（ｉ）（Ｘ）ｄｓｉ以外还应该满足下列要求：当对Ｘ代入以Ａ时，对ｄＸ应代入以ｄＡ（即对ｄｘｉ应代人以ｄａｉ），而当ｄＸ＝Ｈ成立时显然不能满足本要求．新近的理论把ｄｆ（Ｘ）定义为线性函数Ｌ本身（而不是Ｌ（Ｈ）），并把ｄＸ理解为线性函数的基底（ｄｘｉ为第ｉ基底），这种理解仍无法满足对微分的上述要求，而且比之旧说它却引起更大的麻烦．其一，高级微分将是更高层的函数，这样人们不得不一再地攀登到高而又高的函数空间去，其二，高级微分的空位数将不必要地增大．在本文中指出了Ｌ（Ｈ）不应理解为微分而应理解为带参数的导数，其中的Ｈ可以（而且有时必须）代入以任何的量不限于微分，这时无须任何微分概念而系统地、更方便地处理了多元函数微分学的全部内容．我们还顺便给出可微性的另一定义，它们更富于直觉性．本文又指出了微分概念是有用的，在许多?

对李冶《测圆海镜》的新认识

和现在通行的看法相反，《测圆海镜》不是一本讨论天元术的书，与天元术有关的部分只是应用天元术以解勾股形罢了。其核心是其中的《识别杂记》部分，这里有完整的定义，完善合适的公理，丰富多彩的定理，已经建立了一个完善的公理系统，为我国数学开辟了一条公理推演的新路。本文在论述这点以外，还指出李冶已完善地解决了由两事而解勾股形的问题，还对洞渊九容提出一些新见解。

从《五星占》看我国的干支纪年的演变

古历中的“行星与某宿晨出东方”应指“行星在某宿而与太阳相近（亦可同位置）”，而《五星占》则是记载秦汉之际的天象，不是抄写历法的星岁对照表。我国古代最先是依王公即位而纪年（依事而纪年），在《左传》时有岁星纪年的萌芽，在先秦古历时有太岁纪年，在项历时开始用干支纪年，经过太初历直到四分历而干支纪年法最终完成。

论张衡的圆周率

认为张衡的圆周率不但是最粗疏的（比其前的刘歆率还要粗疏），而且其理论也有错误。其实张衡是第一个从理论上求得圆周率的人，他从“为术者”那里继承了丸柱误率，认为立方／丸＝（π／４）２，并把其中的经验值９／１６改为１０／１６，从而求得。他的这种想法是很精彩的，而且除却为术者的说法有误以外，他的全部推导都是正确的，而他所开辟的从理论而求圆周率的道路则是非常有意义的，刘徽正是沿着这条路而获得巨大成绩的，张衡在圆周率上的贡献太被人们忽略了。

多值函数新论

不考虑连续性的多值运算和考虑连续性的多值函数之间虽有很密切的关系，但两者并不相同．前者虽用处较少但不能省略也不能用后者替代．先讨论多值运算的相等性及其叠合，其单值支及主值支，纠正人们认为在复变元情况不能规定主值的说法．其次引入连续性从而过渡到多值函数，利用分支点与切割线概念而做出全值线与黎曼面，从而它可以及早地使用．我们把对多值函数的处理办法归结为多值函数原则，即在求多值函数值时应遵循使多值项对最内的变元为连续的原则而在不同的适当的单值支上取值，不限于取相同的单值支，由它而统一地讨论实变元与复变元的多值函数，无须象目前的理论那样必须分别处理．最后具体地就实变元情况而讨论新的多值函数理论，并与传统理论相比较，阐明新理论的优越性．

秦汉及以前的古历探微

该文澄清以往对《左传》的一些误解，指出不能把刘歆、杜预的说法作为《左传》的说法。人们普遍承认《左传》自有一套历法，该文第一次对《左传》历法作比较全面的探索，找出其岁实朔策等，指出它已具历法的雏形。文中指出，秦朝曾采用颛顼历与殷历，吕不韦引用的似是殷历而非颛顼历，该文比较全面地讨论殷历。文中指出，颛顼历是吕不韦被免相后采用的新历法。作者解释它所以是立春标准历，其太岁年名与股历相差一年，其星岁对照表与殷历的星岁对照表又相同的原因。太初改历的经过，《史记》《汉书》所载不同，《汉书》中又有一句话，表面看来自相矛盾无法解释，因此长期以来，人们对改历经过以及太初历内容无法知其真相。作者对此进行深入探讨，弄清太初改历经过及太初历内容。文中讨论三统历的内容及它与大初历的关系并略论干支纪年的演变。

对不定积分的新处理

以前用不定积分表示全体的原函数ｆ（ｘ）＋ｃ，从而把Ｃ看作任意常数或变元，比较新近的说法则用表示原函数族，从而不再是函数（而是函数集），这些说法都有其本身的问题，难以服人，本文把写成（分清现行变元与积分变元），用它表示一个确定的（但尚未具体指定的）原函数，Ｃ为待定常数，并作约定，在此基础上重新建立不定积分论．

有关《九章算术》的一些讨论

文章分为５部分，第一部分指出“晋武库”并非“晋朝武库”而是“晋王武库”，从而对刘徽作注年代问题给出了一个关键性的新论点，极易肯定刘徽注完成于魏景元四年。第二部分针对今本《九章算术》中有争议的部分，指出S少广术、负笼术、宛田术、环田术、密率术、五家共井术等，本身无误，以前人们由于种种原因而对其作了不同的误解，亟待澄清。第三部分对体积理论作了详细讨论，提出《九章算术》时代应该已经有了成熟的棋验法并用以求得各立体体积的公式。第四部分讨论《九章算术》的方程，指出我国古算是在整数环内操作，中间结果不应该有有理数，认为方程术有毛病并提出校正意见；对方程章中麻麦问旧术提出新的校正意见，只对极少量的且极常见的错误作了改正。第五部分解释了为什么刘徽特别提出“麻麦与均输少广之章重衰积分皆为大事”。

算子与概括过程──一个无类型的完备逻辑演算

当我们从一阶逻辑推广到高阶逻辑时，既使用以函词为主目的高级函词，亦使用具有指导变元与辖域的算子，例如量词与摹状词便是算子的一种．但在逻辑中除量调与摹状词外，对别的算子完全忽视，这是很不妥当的．本文指出了，算子与高级函词本质上是一致的，而且算子和函词不同，即使把它的主目（伴行主目、指导主目与辖域）都限于式项，而且其值也限于式项（这样的算子叫做一级算子），它的表达力量仍非常强，可以表达一切高级函词、高级算子所能表达的，而且即使废除概活过程其力量亦不会减少．废止概括过程后，便得到一个无类型的表达完备的逻辑演算可作整个数学的基础．

质点空间内的几何

要在矢量空间理论内处理射影几何与仿射几何 ,传统的方法很难令人满意 ;主要是 ,对仿射几何 ,凭空引入一个非常特殊的原点 ;对射影几何 ,齐次矢量本身没有几何意义 ,矢量的运算不能适用于点 以质点空间为讨论的基础 ,对它引入同位置的概念而作几何解释并作成几何 ,克服了上面两大困难 指出 ,只用位置概念本身得射影几何 ,再指定一个一元线性型 (质量函数 )便得仿射几何 ,再指定矢量的长度 ,便得欧氏几何 对几何而言 ,应该能够从一组位置找出其代表点用以表示其它位置 ,为此须使用框架位置 ,按框架位置而取框架点 ;引入质量后 ,只须在组成基底的各基点处取相同质量的点便是代表点 详尽地讨论了质点空间里的位置公式 ,位置量与位置变换 (及保位系数 ) ,它们对应于几何公式几何量以及几何变换 ,前两者是一一对应 ,后者一般是多一对应 ,为此 ,引入代表变换 指出 :就一般的多于 2维的空间而言 ,保持共线性的变换必依某个自同构而保持交比 ,它的代表变换必为一个半线性变换 ;又指出 ,如果保加的位置变换的值域不止一维 ,则它也是半线性变换 ;故射影变换 (传统上定义为保持共线性的几何变换 )可在质点空间内定义为保加的位置变换 ,其兼保持交比的则以线性变换为代表

正确全面地理解大衍总数术

秦九韶的大衍总数术分三大部分。在求定部分中，须把一般的问数化为彼此互素的问数，秦氏分成四格进行。该文对关键的“约奇约偶”、“复乘奇复乘偶”和“始得元数”诸词给以适当解释，并阐明“去总求等”的必要，从而完满地处理了元数复数两格，表明秦氏的求定理论是正确的。对大衍总数术的求乘车部分，该文指出大衍求一术是秦氏对古历算家的求历法上元的过程的总结，总结中，使用了一些深刻的概念，用它可以解一个同余方程；秦氏又继承了《孙子算经》的用数法以完满地解多个同余方程。该文特别指出，秦氏创立了他的减用法与借用数理论，以组成大衍总数术中很重要的第三部分——检验理论；他给出上元同金方程的减用借用式有解条件，与今天所用的相同；但其减用过程含有错误。最后，该文指出，在运算上演纪术简便得多，但大衍总数术提出很多重要的概念，是演纪术的理论总结，在理论上更为重要。

Scholz问题的解决

Scholz问题有两个。(1)试找出一数集为有限谱的充要条件;(2)试判定是否有限谱的补集必然仍为有限谱。本文指出了,一集M为有限谱当且仅当它为一个特存ε~2集(定义见下),又指出在一定条件下,可作一个有限谱它的补集不再是有限谱。因此我们完全解决了第一Scholz问题而在一定条件下解决了第二问题。 命dig(x,y)指(在v进制下)数x的第y位数字。一集B叫做特存ε~2集指“x∈B”可以表示为,这里h为一常数而α(f,v)为一个ε~2谓词(在Grzegorezyk谱系中),使得在其中f只出现在dig的第一变目处。

关于逻辑函词演算的建立

建立逻辑函词演算如下。本原逻辑函词: C_a(x)=a,I_(mn)(x_1,…,x_m)=x_n(1≤n≤m)。配对函词pg,K,L使得 Kpg(x,y)=x,Lpg(x,y)=y。求逆算子τ,当f为1-1函词时它将f(x)变成?f(x)(亦记为f^(-1)(a))使得即 f(f^(-1)(a))=a。递归鼻子p^V它将两函词g(x)与f(x,y)变成?{g(x),f(x,y)}(暂记为k(a,b,c))使得这是—般递归式的一种。以上的x,y叫做作用变元(指导变元,为约束变元),而a,b,c叫做新添变元(自由变元)。当g(x)为1-1函词时,可将?{g^(-1)(x),,f(x,y)}记为?·{g(x),f(x,y)}或h(a,b,c),则有:这是原始递归式的一种。

关于秦九韶生平及其成就

秦九韶是我国古代著名的数学家。他对数学的贡献如何?他的生平如何?本期科技史专栏目中发表了沈康身和莫绍揆的两篇论文。莫文则对秦的生平作了考证,并对秦九韶研究中的一些问题,提出了不同的看法。两文又互为补充。对于研究中国古代数学史的专家和一般读者来说,均有裨益。

两型自然推理系统的比较

1934年,S.Jaskowski与G.Gentzen几乎同时提出了所谓自然推理系统。两种系统都获得极大的发展,成为最受人们欢迎的系统。这两种系统各有优缺点,大体说来,前者最和人们日常的推理过程相近似,从而使用起来最为方便;后者则除可以不用割切(cut)规则外,各规则都是由简主繁,理论上最是简捷,没有兜圈子的毛病,最适宜于作理论上的探讨(尤其当讨论融贯性、可推导性等问题时)。因此长期以来,人们都认为使用时宜选择前者,作理论上探讨时,宜选择使用后者,并认为两者根本不同,无法变成一个。

递归定义与归纳证法

递归定义与归纳证法是数学中最基本、最原始的手段,它不象一般人所认为的那样只是自然数所特有的。本文通过揭示递归定义与归纳证法的实质表明它们是本质上不依赖于自然数的逻辑系统内的特征,因而也适用于许多非自然数的对象。

概括原理及其消除——一个完备的逻辑演算

无论集合论、λ换位演算、组合逻辑及逻辑(谓词演算)都由于无限制地使用概括原理而导致悖论,因而不能不对概括原理给以限制;然而加以限制以后又近于人工做作而不够自然,而且也变得复杂得多。本文指出,可以在一切方面用代入运算代替概括过程,从而概括原理可以根本废除,废除概括原理以后,不仅不会产生新的高级函词高级算子,而公理与推理过程也简洁得多,不受任何人工约定的限制。这样我们便得到一个既非常简洁又确实很完备的逻辑谓词演算,足以作为整个数学的基础。