证明不等式的八种代换法

“数学解题,贵在一设”,即代换。下面介绍不等式证明中八种代换法。例1.设x1,x2,x3,x4∈R+,且1/（1+x1）+1/（1+x2）+1/（1+x3）+1/（1+x4）=1.求证明 x1x2x3x4≥81。（86年合肥赛题）

对《一个公式的巧用》的一点补充

“数学教学通讯”85年第5期张山同志的文“一个公式的巧用”读后很受启发,公式(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)=a^3+b^3+c^3-3abc在解题中巧用之处不少。今就这个公式在三角恒等式的证明中巧用的一角补充几个例题,使该文更有说服力。例1.已知sinα+sinβ+sinγ=0, cosα+cosβ+cosγ=0 求证:(1)sin^3α+sin^3β+sin^3γ=3sinαsinβsinγ (2)cos^3α+cos^3β+cos^3γ=3cosαcosβcosγ证明:当a+b+c=0时,a^3+b^3+c^3=3abc令α=siaα,b=sinβ,c=sinγ,则sin^3α+sin^3β+sin^3γ=3sinαsinβsinγ。令a=cosα,b=cosβ,c=cosγ,则cos^3α+cos^3β+cos^3γ=3cosαcosβcosγ。利用例1的结论又得一题: 例2.已知:sinα+sinβ+sinγ=0, cosα+cosβ+cosγ=0 求证:(1)

“方程法”在三角中的应用

引入变量,将一些原本不是求解方程的问题转化为解方程,从而使原问题获解的方法,称为“方程法”。可应用在一些三角等式的证明中。 [例1] 已知cos^4α/cos^2β+sin^4α/sin^2β=1,求证:cos^8α/cos^6β+sin^8α/sin^6β=1。证:令cos^2α=x,sin^2α=y,则有,用代入消元方法可得到,x^2-2xcos^2β+cos^4β=0,即(x-cos^2β)~2=0, ∴x=cos^2β,y=sin^2β,即cos^2α=cos^2β,sin^2α=sin^2β。