关于不定方程x^2+4~n=y^9的整数解

首先证明了不定方程x^2+4^n=y^9在x≡1(mod 2)时无整数解;再证明不定方程x^2+4^n=y^9在n.{6,7,8}时均无整数解;进而证明不定方程x^2+4^n=y^9有整数解当且仅当n≡0,4(mod 9),且当n=9m时,其整数解为(x,y)=(0,4m),当n=9m+4时,其整数解为(x,y)=(±29m+4,22m+1),这里m为非负整数.最后,根据k=5,9的结论,提出了一个关于不定方程x2+4n=yk(k为奇数)的整数解的猜想.

关于不定方程x^(2)+4^(n)=y^(11)的整数解

应用代数数论以及同余法等初等方法讨论不定方程x^(2)+4^(n)=y^(11)的整数解情况,证明了不定方程x^(2)+4^(n)=y^(11)在x为奇数,n≥1时无整数解;不定方程x^(2)+4^(n)=y^(11)在n∈{1,8,9,10}时均无整数解;不定方程x^(2)+4^(n)=y^(11)有整数解的充要条件是n≡0(mod 11)或n≡5(mod 11),且当n≡0(mod 11)时,其整数解为(x,y)=(0,4^(m));当n≡5(mod 11)时,其整数解为(x,y)=(±2^(11m+5),2^(2m+1)),这里的m为非负整数,验证了k=11时猜想1成立。