2023年全国中学生数学奥林匹克(决赛)试题与答卷情况分析

全国中学生数学奥林匹克(决赛)是国内中学生顶尖的数学竞赛之一.参赛学生经过层层选拔入选决赛考试.通过对参赛考生的试卷与答卷情况进行分析,整理出考生在答题过程中易忽视的细节和易错点,帮助竞赛教练员更宏观地了解考试内容,为日后更好地开展教学和培养资优生提供一些辅导建议,给数学竞赛爱好者提供一些好的、妙的解题思路、技巧和方法.

希尔伯特类多项式模p的Fp根的个数

设K是一个虚二次域,O为K中的一个order.由定义,O的希尔伯特类多项式H_(o)(x)是一个整系数的首一不可约多项式,它的复根恰为所有具有O—复乘的椭圆曲线的j—不变量.设p∈N为一个在K中惯性的素数,且p严格大于|disc(O).若Ho(x)(mod p)的F_(p)根的所组成的集合非空,我们证明群Pic(O[2]在该集合上有一个自由且传递的作用;因此Ho(x)(mod p)的F_(p)根的个数要么等于0,要么等于|Pic(O)[2]|.我们还给出了一个关于F_(p)根存在性的具体判别方法.类似的结果首先由Xiao等人在文献[25]中得到,后又经李等人在文献[13]广泛推广.本文结果已在李等人的工作中出现,但方法与之完全不同.