极限中的代数方法

文章试图用代数的方法来研究和讨论数学分析极限理论中的整体问题。由于引进了代数概念,因而使分析中的很多难以理解的概念(如数列的Sacks极限、无穷级数中离散卷积的定义域、函数极限的保序性以及函数的一致连续性等)变得便于理解。文章还对有界、极限、连续、导数、微分等作了纯代数的解释,得到了很多有趣的命题。

测度论中的代数方法

定义了测度矩阵及其代数运算(“加”、“数乘”、“乘”),范数、Hadamard乘积等,证明了测度矩阵集合M_(n,m)(D)按代数运算及Hadamard乘积均构成Banach代数。由此进一步讨论了H-测度的一些新理论,且用以研究二阶退缩椭圆型偏微分方程解的弱收敛性。

微分学中的代数方法

文章用代数的方法讨论了微分学中的某些问题(如曲线、曲面的切空间、极值、凸函数理论等),得到了许多有趣的命题;由于在微分学中引进了代数概念,使许多难于理解的概念和证明方法都变得简单。此外,导函数的连续性及导函效的代数结构也在文中进行了讨论,并得到了一些有趣的结果。

积分学中的代数方法

运用代数方法对常义Riemann可积函数、单变量广义Riemann积分、多变量广义Riemann积分和含参变量积分进行了分析讨论,得到了一些有趣的命题。代数概念的引进使积分学中原本比较复杂的问题和概念变得较为简单。

极限论的内在联系

当我们考察量的变化时,重要的是整个变化过程和趋势。量的变化有着各种各样的趋势,而最重要的变化趋势就是极限。以研究函数(包括数列)的极限的概念、运算及理论为对象的学科,称为分析引论或极限论。极限论是微积分的理论基础。它给整个分析学起了奠基作用。函数 f(x)随着自变量 x 的变化而变化,有着各式各样的变化状态和变化趋势。

平面几何的内在联系和中心课题

中学几何包括平面几何和立体几何两大部分。在中学数学中,几何的地位仅次于代数。以研究简单平面图形的性质及其相互位置关系为对象的平面几何,不仅是立体几何的基础,也是三角和解析几何的基础。它对于培养学生的逻辑思维能力起着突出的作用。

中学数学的基本训练问题

本文系作者于1979年8月在吉林省教育学院举办的中学数学教材讨论会上的报告中的有关分科训练的部分内容。