关于丢番图方程p^x+p^y=z^n

指数不定方程是一类重要的不定方程,Jesmanowicz-Terai猜想就属于指数不定方程的内容,对此国内外许多学者都对此进行了研究,取得了很多重要的结果。本文利用初等方法,主要是因式分解和简单同余方法并结合Catalan's猜想的基本结论,即两个连续的方幂数有且仅有8和9,得到了一类特殊的指数型丢番图方程p^x+p^y=z^n(n>1)的全部非负整数解,我们证明了该方程当p为奇素数时,它的解与麦什涅素数对应。本文得到的结果改进了Tatong-Suvarnamaniv和Dibyajyoti的结果。

与马猜想有关的一类不定方程

设p是奇素数,b.t.r∈N.1992年,马少麟猜想丢番图方程x^(2)=2^(2b)+^(2)p^(2t)-2^(2b)+^(2)p^(t+r)+1有唯一的正整数解(x.b.p.t.r)=(49,3,5,1,2),并且证明了这个猜想蕴含McFarland关于乘子为-1的阿贝尔差集的猜想.在[Ma S L,MaFarland'conjecture on Abelian difference sets with multiplier-1[J].Designs,Codes and Cryptography,1992,1:321-332.]中,马少麟证明了:若t≥r,则丢番图方程x^(2)=2^(2b)+^(2)p^(2t)-2^(2b)+^(2)p^(t+r)+1没有正整数解.本文证明了:若α>1是奇数,t≥r,那么丢番图方程x^(2)=2^(2b)+^(2)p^(2t)-2^(2b)+^(2)p^(t+r)+1的正整数解由t=r=1,x+α√2^(b+2)(2^(b)-1)=(2^(b+1)-1+√2^(b+2)(2^(b)-1)^(n)给出,其中n为奇数.作者也证明了:若p是奇素数,则(x,b,p,t,r)=(7,3,5,1,2)是丢番图方程x^(4)=2^(2b)+^(2)p^(2t)-2^(2b)+^(2)p^(t+r)+1的唯一正整数解.

关于丢番图方程x2=p2b+2a2t-pb+2at+r+1

本文利用同余理论、因式分解、整除性理论等初等方法并结合二元四次不定方程解的性质讨论了与马少麟猜想相关的一类丢番图方程,证明了:如果a>1是奇数,p是素数,那么方程x^2=p^2b+2a^2t-p^b+2^at+r+1,x∈N^+,b,t,r∈N,t≥r有解的充分必要条件是p=2,t=r=1或p=2,t≥r=0,且求出了它的所有解。