最小数原理在数学竞赛中的应用

有些数学问题所涉及的各个元素的地位是不均衡的,其中的某个极端元素往往具有优于其他元素的特殊性质,能为解题提供方便,而利用这种极端性的方法之一就是最小数原理.最小数原理是证明关于自然数的命题的一种重要方法.它和数学归纳法的归纳原理是等价的,但是使用上比数学归纳法更灵活,应用面也更广,从替代数学归纳法、取集合中的最大或最小的数进行分析,取正整数的最小素因子进行分析,无穷递降法,韦达跳跃,无穷递降原理在操作类问题中的应用等方面举例说明了最小数原理的应用方法和技巧。

一个基于代数结构的存在性问题

1问题的提出"将π的整数倍表示成若干个不同的正整数的反正切值之和"是一个学生提出的猜想.笔者给出了一个归纳构造的证明.为了降低难度,添加了第(1)(2)问.具体题目如下.证明:(1)arctan 1+arctan 2+arctan 3=π;(2)不存在四个不同的正整数.

一类整数递推数列的周期性

笔者研究这类问题是源于题1定义数列{an}:(1)a1=p,a2=q(p、q为素数,且p≠q);(2)对于任意的n∈Z+,若存在m∈Z+,满足an+an+1=2m,则an+2=2,否则,an+2等于an+an+1的最小奇素因子.证明:必存在正整数k,使得ak=2.(2015,中国数学奥林匹克希望联盟夏令营)证明假设不存在k∈Z+,使得ak=2.则据定义,得对于任意的n∈Z+,an为奇素数,an+2等于an+1+an的最小奇素因子.先证明:an≠an+1(n∈Z+).