探寻一类动点路径问题的通式通法--以近年某地一道中考填空压轴题为例

从近几年全国各地的中考数学试题的特点来看,考查学生数学核心素养的中考压轴试题逐渐成为中考命题者的新宠.文章以2019年浙江省嘉兴市中考数学第16题为例,谈谈试题原型来源、试题解法、变式应用,并做一般推广.

寻根探源觅真谛 通式通法相伴来

1.研究背景.《中小学数学》(初中版)2021年第10期刊登了吕强、常会芳撰写的《“华数之星”方程组的解法探究》(简称《解法探究》)一文,读后受益匪浅,回味之余意识到,文章作者在原题呈现之后,紧接着说了这样一段话:“这是在实数范围内求二元三次方程组解的一道测试题,试题简单明了,构思巧妙。”[1]细思此说似有不妥。

由一道质检题引发的思考

通过证明菱形内接正方形的存在性与唯一性,一道有关菱形内接正方形问题的存疑进行了澄清,并在此基础上研究了一般平行四边形内接正方形的唯一性与存在性问题,给出尺规作图方法并作一些教学思考。

浅谈一道“华数之星”测评试题的解法及变式探究

《中小学数学》杂志初中版2022年第1-2期合刊用5个版面刊登了“华数之星2021年测评”试题,分别包括三、四级试题的初复评等共八套试题.当下笔者深入地研究了其中的部分题目,其中四级测评中初评试题的第3题[1]吸引了笔者的兴趣.该试题短小精悍,极具简洁对称之美.题目通俗易懂,条件精炼不失内涵,方法明了富有挑战性,具有深入研究的价值.为研究的方便,现摘抄如下.

点P的存在性在一类最值问题中的应用与推广

最近笔者有幸加入了中学数学杂志群,群里云集了全国各地高水平的数学教师,在交流讨论这样一道题目.呈现如下:原题如图1所示,已知等腰直角三角形ABC中,∠ABC=90°,AB=CB.点P为三角形ABC所在平面内任意一点,且PA=1,PB=2,求PC的最值.解析本题的条件是三角形ABC为等腰直角三角形,且PA=1、PB=2.易知,三角形ABC确定形状,但其大小不确定.本题的问题是求PC的最值,然而点P的位置随MBC的大小变化而变化问题中的图形在变化,图形中的所有点都在动,可想而知此题不简单.

浅谈一道中考试题的推广与应用

2018年淄博市中考数学试题命制了这样一道具有明显甄别与选拔功能的压轴题目,呈现如下.

浅谈一道“网红”题的解法、推广及应用

题目是近两年比较流行的一道动态求最值的网红题笔者拟给出该题一种创造性解法,并作出推广与应用.原题呈现:如图1,圆O的半径为16,圆心为直角坐标系的原点.直角△ABC的直角顶点A位于x轴上,顶点B位于y轴上,顶点C位于圆O上.且满足AC:AB=2:3,求AABC面积的最小值.

从一道中考选择题谈起

2018年淄博市中考数学选择题第12小题属于选择题中的压轴题,具有较强的区分功能.笔者想谈谈这道题的解法,并试图把题中等边三角形ABC内部的定点P问题推广到等边三角形ABC内部的任意一点.原题:(2018·山东淄博)如图1,点P为等边三角形ABC内的一点,且点P到△ABC三个顶点A、B、C的距离分别为3、4、5,则△ABC的面积为().

也谈数轴上分数1/n对应点的作法

《中学数学杂志》2017年第4期刊载了朱有成老师的文章《数轴上找分数1/n对应点的作图法》.2019年2月,《中学数学杂志》又刊载了李玉荣老师同一个问题更为简洁的作图研究成果《数轴上找分数1/n对应点的另一种方法》.细品两篇短文,受益匪浅.朱老师的方法是首先构造一个直角三角形,使得与数轴重合的直角边长为n(n为整数),另一条直角边长为1,然后作三角形斜边上的垂直平分线,再截取某相等线段.

教科书中的一处隐性错误

山东教育出版社义务教育教科书五四学制数学，七年级上册第二章“轴对称”第60页复习题第13题是一道联系拓广题．题目如下：

一道中考试题引起的再思考

原题：（2014·四川达州）如图，折叠矩形纸片ABCD，使点B落在边AD上，折痕EF的两端分别在AB、BC上（含端点），且AB=6cm，BC=10cm．求折痕EF的最大值．答案解析开始说：“如图，点F与点C重合时，折迹EF最大．针对AB=6cm、BC=10cm，这句话是正确的．

透过“多余条件”探寻一类动点问题背后的基本数学模型

历年中考试题都承载着兼顾初中学生毕业和高中学校招生的双重任务,压轴试题可为高中学校选拔合格人才把好关候好脉,具有明显的甄别与选拔功能.动点问题在考查学生思维能力等核心素养方面以其独特的优势,正成为各地中考压轴试题命制的重要素材.然而,有时人为或不经意间命制的考题会出现多余条件.本文以2019年连云港市中考数学填空第16小题为例,给出几种解法,提供几个变式,分析试题"多余条件"背后的原因.

一类竞赛试题的轴对称变换解法

与“三角形内一点P”有关的问题,经常出现在全国各地的各类竞赛试题中,2018年山东省淄博市中考试题也命制了这样一道“点P在三角形内部”的题目.求解此类问题的经典方法是旋转变换法.本文讨论的几个与“三角形内一点P”有关的试题,命题者给出的标准答案无不是采用了旋转变换法.由于问题的不同,旋转的角度可能不同.旋转的角度不统一,造成了解决问题的复杂性,求解这类问题的要义对于学生来说或许一时难于把握.因而求解这类问题的旋转变换法技巧性太强,方法不具有推广与普及的意义.通过对这一类问题的深入研究,笔者给出求解此类问题的一种新的具有推广与普及意义的自然解法——轴对称变换法.