构造向量 探索不等式证明新路

向量进入中学数学是我国数学课程改革的一个重要内容，作为现代数学重要标志之一的向量引入中学数学，进一步发展和完善了中学数学知识结构体系，拓宽了研究和解决数学问题的思维通道．也为激发和培养学生的探索精神和创造意识提供了更广阔的途径．

柯西不等式的一个变式及应用

柯西不等式是人教版《普通高中课程标准实验教科书．数学》选修4-5不等式选讲中的重要内容，其结构对称、形式优美、应用广泛．在国内外各级各类竞赛中，与之相关的题目频频出现，显示出其独特地位与工具作用．灵活而巧妙地应用柯西不等式，

初中竞赛中分类讨论的几种常见情况

如果一个命题包含有多种可能情况,难于统一处理时,就需要按可能出现的各种情况分门别类地加以讨论,逐一作解,得出各种情况的相应结论,最后归纳出问题的正确答案。这种解题方法叫做分类讨论法,它是一种重要的解题方法。运用此法时一定要明确分类的依据和标准,做到不重复,不遗漏。本文试图综合出初中数学竞赛中需要分类讨论的几种常见情况及解题对策。仅供参考。

共点三弦夹角定理及其运用

本文给出圆中具有公共端点的三条弦及其夹角之间的一个数量关系,并举例说明其应用。 定理 若AB,AC,AD是⊙O的三条弦,∠BAC=α,∠CAD=β则AB·sinβ+AD·sinα=AC·sin(α+β) 证明 设⊙O的半径为R,连结BC,BD,CD,则由正弦定理,得:BC=2R·sinα,CD=2R·sinβ,BD=2R·sin(α+β)。

三角形的一个性质及其应用

定理 设P是△ABC所在平面上一点,AP,BP,CP分别与对边BC,CA,AB所在的直线交于D,E,F,则AP/PD=AE/EC+AF/FB. 证明 如图1,因为△APC和△BPC有公共边CP,故S△APC/S△BPC=AF/FB,同理S△APB/S△BPC=AE/EC。 图1 ∴AE/EC+AF/FB=S△APC/S△BPC+S△ABC/S△BPC=(S△ABC-S△BPC)/S△BPC=(S△ABC/S△BPC-1)=AD/PD-1=AP/PD。 即AP/PD=AE/EC+AF/FB。

一道几何作图题的多种解法

一道几何作图题的多种解法路李明（甘肃省华池县一中７４５６００）初中《几何》第二册１０２页给出了圆外一点作圆的切线的一种作法，为了丰富知识、开发智力、陶冶情趣、本文再介绍几种作法．已知ＯＯ及ＯＯ外一点Ｐ，求作经过点Ｐ的①Ｏ的切线．作法１（如图ａ）１）连...

由均值不等式与柯西不等式联袂巧证竞赛不等式

均值不等式与柯西不等式是历年数学竞赛的热点内容,利用这两类不等式解题的关键是恰当创设应用公式的结构形式,通常需要转化、变形甚至构造,还需要很丰富的想象能力.对一些较为复杂的不等式问题,有时要把这两类不等式联袂方可达到事半功倍的效果!笔者通过近两年的几道数学期刊征解问题、国内外数学竞赛题的解析与各位读者共勉.

构造局部不等式证明一组国外数学竞赛不等式

不等式问题一直是各类数学竞赛的热点和难点.有些不等式问题,如果整体处理,会显得相当困难,但若能从局部出发,通过适当的处理,得到相关的局部不等式,然后再把各个局部进行整合,则能达到柳暗花明的效果.本文以2020年以来的几道国外数学竞赛题的解析为例,说明构造局部不等式来处理不等式问题的好处,与诸位读者共勉.

由一道二次函数值域题看初高中数学教学衔接

初高中数学教学衔接,既有知识的衔接,又有方法的衔接,更有思维的衔接.其关键是把准教材内容,找准“衔接点”,利用“旧”知识,衔接“新”内容.二次函数是初高中数学中极为重要的内容之一,若以此为“衔接点”,定能使教师教得实在自然,使学生在“知识、方法、思维”等方面过渡更自然.

证明两直线平行的若干策略

证明两直线平行的若干策略甘肃省华池县一中路李明证明两直线平行是数学竞赛中考查几何知识的重要形式之一．本文试图综合出数学竞赛中证明两直线平行的若干策略．现将其列举如下，仅供参考互．利用“同位角相等（或内错角相等，或同旁内角互补），则两直线平行”’例１在...

三角形“内点”的一个性质及其应用

三角形的“重心”、“内心”都是三角形内的点，它们有许多独特而优美的性质．本文给出三角形内任一点（称之为“内点”）的一个性质，并举例说明它在解某些平面几何问题中的应用．定理设Ｐ是△ＡＢＣ内一点，ＡＰ、ＢＰ、ＣＰ交对边于Ｄ、Ｅ、Ｆ．则（１）ＡＰＰＤ＝ＡＦ...

再谈形如1／a＋1／b＝1／C命题的证法

再谈形如１／ａ＋１／ｂ＝１／Ｃ命题的证法甘肃华池县第一中学路李明贵刊１９９５年第５期第１９页所刊的《形如命题的证法初探》一文，阅之颇受教益。文中系统介绍了该类命题的四种证法，但证明过程冗长，学生不易掌握，为此本文介绍一个几何定理，并举例说明它在证明形...

折弦定理及其应用

1.概念 从圆上一点出发的两条弦所组成的折线叫做该圆的一条折弦。与圆的弦一样,圆的一条折弦也对应两条弧。 2.定理及其证明 折弦定理 若弦AB、BC组成⊙O的一条折弦,BC>AB,D是ABC之中点,DE⊥BC,垂足为E,则E是折弦ABC之中点,即CE=BE+AB。 证明:在CE上取点P,使CP=AB,连结PD、DC、DB、DA,因D是ABC的中点,故AD=CD,故AD=CD,∠A=∠C,又CP=AB,

运用垂心余弦定理解平面几何竞赛题

运用垂心余弦定理解平面几何竞赛题甘肃省华池一中路李明本文讨论三角形垂心的一个性质——垂心余弦定理．该定理结构整齐，形成对称，叙述简捷，记忆方便，易于掌握；用它计算或证明某些平面几何问题能带来许多方便．因而介绍给读者，供研究和参考．１．垂心余弦定理及其...

子母三角形的一个面积关系及其应用

子母三角形的一个面积关系及其应用甘肃省华池一中路李明若点Ｄ、Ｅ、Ｆ分别在△ＡＢＣ的三条边上，则称△ＤＥＦ为△ＡＢＣ的子三角形，△ＡＢＣ为△ＤＥＦ的母三角形．本文给出关于子母三角形的一个面积关系，并举例说明其应用．图１定理如图１，若△ＤＥＦ为△ＡＢＣ的...