丢番图方程(an)^(x)+(bn)^(y)=(cn)^(z),a^(2)+b^(2)=c^(5)

设n,a=|m(m^(4)-10m^(2)+5)|,b=5m^(4)-10m^(2)+1,c=m^(2)+1是正整数,且2|m,m>0.该文证明了:若(x,y,z,n)≠(2,2,5,1),(2,2,3,c 2),(2,2,4,c)是丢番图方程(an)^(x)+(bn)^(y)=(cn)^(z)的正整数解,则x<y<z或y<x<z;当(a,b,c)=(38,41,5),(404,1121,17)时,丢番图方程(an)^(x)+(bn)^(y)=(cn)^(z)的正整数解只有(x,y,z,n)=(2,2,5,1),(2,2,3,c 2).

丢番图方程(75n)x+ (308n)y= (317n)z

设a,b,c是两两互素的正整数且a2+b2=c2。Jesmanowicz猜想:对于任意给定的正整数n,方程(an)x+(bn)y=(cn)z只有正整数解(x,y,z)=(2,2,2)。本文利用数论中的一些方法证明了:对任意的正整数n,方程(75n)x+ (308n)y= (317n)z只有正整数解(x,y,z)=(2,2,2),即当(a,b,c)=(75,308,317)时,Jesmanowicz猜想成立。

一类丢番图方程的全部正整数解

丢番图方程是数论的一个古老分支,有大量关于丢番图方程的研究结论。二次丢番图方程的全部正整数解问题已经被解决,但是对于指数型丢番图方程全部正整数问题现在依然是一个难题,文中运用二次丢番图方程正整数解的一些性质得到了一类指数型丢番图方程ax n c ax m±c=y 2-1,c=1,2,4,n≡m(mod 2)的全部正整数解。

方程((c+1)m^2+1)^x+(cm^2-1)^y=(am)^z

设a,c,m均是正整数且a≡3,5(mod 8),2c+1=a^2,2■m,m>a^2.我们在本文中得到了:当m=1,a>5或am≡1,5(mod 8)或am≡7(mod 8),3■am或am≡11(mod 24)时,丢番图方程((c+1)m^2+1)^x+(cm^2-1)^y=(am)^z只有正整数解(x,y,z)=(1,1,2).

丢番图方程(m^(2)+1)^(x)+(cm^(2)-1)^(y)=(am)^(z)

设m,a,c均是大于1的正整数.当am≡1(mod 4)或am≡3(mod 8),3■m或2■a,2|m,3■m时,得到了丢番图方程(m^(2)+1)^(x)+(cm^(2)-1)^(y)=(am)^(z),1+c=a^(2),m≥2只有正整数解(x,y,z)=(1,1,2).特别地,当a≡1,3,5(mod 8),a≠3或a≡7(mod 8),a≡2(mod 3)时,方程2x+(a^(2)-2)^(y)=(a)^(z)只有正整数解(x,y,z)=(1,1,2).

丢番图方程(an)^(x)+(bn)^(y)=(cn)^(z)

设a,b,c,n均是大于1的整数且a+b=c^(2),gcd(a,b,c)=1.得到了一些关于丢番图方程(an)^(x)+(bn)^(y)=(cn)^(z)正整数解(x,y,z)的结论.

关于丢番图方程b^x+(2~α)~y=(b+2~α)~z

结合初等和高等的方法研究丢番图方程b^x+2^(αy)=(6+2^α)~z,α≥3正整数解的问题,并得到了如下结论:1.若b为平方数,则方程只有正整数解(x,y,z)=(1,1,1);若b+2^α为平方数,则x=1.2.若x>1,则2■z.3.方程3^x+(2^(2k+1))^y=(3+2^(2k+1))^z,k≠2 (mod 6),2k+1∈N,2k+1>1只有正整数解(x,y,z)=(1,1,1).

关于方程(an)^(x)+(bn)^(y)=(cn)^(z)正整数解的个数

设a,b,c,n均是给定的且大于1的正整数,a,b,c两两互素且gcd(n,bc)=1.我们在本文中得到了:当c>max{a,b}时,丢番图方程(an)^(x)+(bn)^(y)=(cn)^(z)至多只有两个正整数解(x,y,z);当c<MIN{A,B},p(N)|a或a<c<b,c≤a+b/2,P(n)|a时,方程(an)^(x)+(bn)^(y)=(cn)^(z)至多只有一个正整数解(x,y,z)。