Polya计数定理及其若干性质

G·Polya是美籍匈牙利数学家、教育家。他在数学的广泛领域里都有许多发现,又热心于教育,1980年被邀请担任第四次国际数学教育会议的名誉主席。他一生中发表过二百多篇论文和许多专著,其作品清晰优美,方法灵巧独特。被人们誉为“Polya的风格”、“Polya的方法”……。Polya早在1937年就对树的计数和化合物的同分异构体的枚举问题进行研究。

Cayley定理在半群的若干情形

Cayley 是最早提出抽象群概念的,他还提出并证明了一个重要定理:每一个抽象群都同构于一个变换群。这就告诉我们,任意一个群在变换群里都能找到一个具体实例,研究一个变换群实体就方便多了。然而,对任意一个半群来说能否在变换半群里也找到一个具体实例呢?本文就着重介绍 Cayley 定理在半群里的若干情形。

高等代数新法考试初探

教育测量学是以现代教育学、心理学和统计学为基础并随着电子计算机的广泛应用而迅速发展的一门多科交叉的科学。以教育测量学观点提出的一种新法考试(又称为客观考试)就是采用广泛抽样方法,使每份试题的知识面广,数量大,形式多样,方法灵活,答案明确,要求统一,成为知识总体的良好样本。我们在改革传统考试中对高等代数新法考试进行了初步工作。现在提出一些笔者的浅见,欢迎大家批评指正。

挖补定理的一个注记

我们若要作一个环使它包含一个给定的环(即环的同构嵌入问题)时,常常要使用挖补定理。这个定理提供了一个重要的思想方法,对以后的学习研究很有帮助。然而这个定理在范德瓦尔登著的《代数学》里证明很简略,也比较抽象。在张禾瑞先生著的《近世代数基础》(1978年修订本)里作为同构环的定理4,他首先给出一个引理,这样证明条理清楚,叙述严谨详细。可是一些学生阅读时还不大容易理解证明的思想方法。笔者在教学过程中注意直观地刻划定理,同时补充两个预备定理,连同引理一起就有三个预备定理,给出一个较为简明易懂的证法,使学生能理解地掌握挖补定理,并且进一步了解此定理的若干特别情形。特作如下注记。

Cayley乘表结合律的一种检测方法

在近世代数里,主要研究最基本的代数系统。所谓代数系统,就是带有代数运算的集合,而代数运算就是一种特殊的映射。我们说集合 A 有一种代数运算,就是规定了一个 A×A 到 A 的映射。A 的代数运算,又可以叫做 A 的二元运算。如一个二元集合 A,就可以定义16种不同的代数运算。就是说,我们可以相当任意规定集合的好些代数运算,但如此定义的二元运算并不一定有多大意义。如果给定的代数运算能适合某些从实际中来的规律,如人们熟知的结合律、交换律及分配律等,这样的代数运算当然具有较大的实际意义。