带多个形状参数的Bézier曲线与曲面的扩展

通过引入多个形状参数,生成Bézier曲线与三角域Bézier曲面的扩展,它们包含普通的Bézier曲线曲面为其特例.这类多项式曲线与曲面的调配函数具有显式表示,易于求导和求积.改变形状参数的值能整体或局部调控曲线与曲面的形状.

多形状参数的三次非均匀三角多项式曲线

对于非均匀节点向量给出了一类带多个形状参数的三次三角多项式曲线,这类曲线具有三次多项式B样条的许多重要性质:对非重节点为C2-连续,对均匀节点则为C3-连续,能直接表示椭圆.根据形状参数的各种不同取值,人们既能整体、又能局部地调控这类曲线的形状.此外,还讨论了多形状参数的三角Bézier曲线的情况.

多形状参数的二次非均匀双曲B-样条曲线

给出了一类带多个形状参数的二次非均匀双曲B-样条曲线,这类曲线具有二次多项式B-样条曲线的许多重要性质.根据形状参数的不同取值,能整体或局部地调控曲线的形状;无需重节点技术或解线性方程组,就能使曲线直接插值于某些控制点或控制边.此外,这类曲线能精确地表示双曲线.

带形状参数的插值曲线

针对αB样条插值曲线仅能整体调控其形状的局限性,通过适当地提高曲线次数并引入若干新的形状参数,构造出2种C2连续的插值曲线,这些曲线的形状既能整体又可局部调控;还给出一种能作整体调控的C3连续的插值曲线.

有关解线性方程组的一些思考

解线性方程组是线性代数课程的最重要内容之一,目前工科线性代数的大纲和教材一般不包括不相容方程组,其实这部分内容具有广泛的应用.本文用微积分方法给出不相容方程组的最小二乘解以及极小范数最小二乘解,可供线性代数课程的教学改革作参考.建议待条件成熟时,将不相容方程组的最小二乘解纳入工科线性代数的教学大纲和教材.

四阶交错B—样条曲线

提出一种带参变量ε的四阶交错B—样条曲线,它们交错地由三次或五次分段多项式组成,凸包随ε趋于零而单调嵌套趋于控制多边形。在C^2中本文所得的四阶分段多项式的次数为最低,并讨论了平面情况下这种曲线段的奇拐点分布。

交错样条的构造法

在文[1]中AI—DING BIEN与FUHUA CHENG对给定的节点序列τ={τ_1}引入了一种k次交错样条G_(1,k+1)的定义,它在不同的区间[τ_l,τ_(l+1)]上交错地取k次及k—1次多项式,本文在节点不相重的条件下定义一种新的交错样条H_(i,k+1),它在不同的区间上交错地取k次、k-1次……及零次多项式,及其与普通的B样条的关系。更一般地给定一组非负整数0≤k_1<k_2<……<k_p=k我们给出交错地取k_p次、k_(p-1)次……及k_1次多项式的交错样条J_(i,k+1)的构造方法。

关于四次缺插值样条函数

本文讨论一种四次缺插值样条函数。[1]、[2]曾给出f(x)∈C^k[0,1],k≥3,△:x_0=0<x_1;<……<x_n=1为[0,1]的一个分划,x_i+去1/2=(x_i+x_(i+i))/2,h_1=x_(i+1)-x_i(0≤i≤n-1)对满足下述条件的四次缺插值样条函数S(x)是存在唯一的: (Ⅰ)S(x)∈C^2[0,1]; (Ⅱ)在[x_1,x_(i+1)上S(x)为四次多项式; (Ⅲ)S(x_i)=f(x_i),0 ≤i≤n; (Ⅳ)S″(x_i+1/2(=f″(x_i+1/2),0≤i≤n-1; (Ⅴ)S(x_o)=f′(x_o),S′(x_n)=f′(x_n)。若将其中的条件(Ⅳ)和(Ⅴ)改为 (Ⅳ′)S′(x_i+1/2)f′(x_i+1/2),0≤i≤n-1; (Ⅴ′)S″(x_o)=f″(x_o),S″(x_n)=f″(x_n)则由于HB问题的不适定性,四次样条函数的存在唯一性就无法满足,究其根源乃在于(Ⅳ′)中的节点为中点x(_i+1/2),如果将它改为 x_i+λ=x_i+λh_i,其中0<λ<1且λ≠0.5,即(Ⅳ′)改为 (Ⅳ″)S′(x_i+λ)=f′(x_i+λ)那么对于0<λ<1+33^(1/2)/16或15-33^(1/2)/16<λ<1,满足条件(Ⅰ)、(Ⅱ)、(Ⅲ)、(Ⅳ″)、(Ⅴ′)的四次缺插值样条函数是存在唯一的,且λ_i=3-3^(1/2)/6,λ_2=3+3^(1/2)/6为λ的最佳值,本文还给出所述四次样条函数插值的误差估计。

分段二次函数的Bernstein多项式的退化性及递推公式

当区间[0,1]二等分时,本文给出两类分段二次函数的Bernstein多项式的退化性及递推公式。其中一类(0-1)属C^1[0,1],另一类(0-2)为f(x)∈C[0,1]且f"(1/2-0)=f"(1/2+0)。这里所有的条件都是重要的,我们举例说明不满足上述条件的函数的Bernstein多项式的复杂性。

一类三次HB插值的最优误差界

设f(x)∈C^k[0,1],k=2,3;又令H_3(x)是满足条件H_3(0)=f(0),H_3(1)=f(1),H_3~"(0)=f"(0)及H_3"(1)=f"(1)的三次HB插值多项式,本文给出e^(α)(x)=H^(α)-f^(α)(x),α=0,1,2,k用‖f^(k)‖=max 0≤x≤1 |f^(k)(x)|来表示的最优误差界。

经过三点的平面参数三次曲线的生成方法

本文提出一种经过三点或另加一控制点或的生成平面参数三次曲线的方法。它兼顾插值与逼近两方面的需要，具有明显的直观几何解释，并能按照不同的要求灵活地选择参变量的值和控制点的位置以调整和控制曲线的形状。

分段三次H插值的局部稳定界及其在样条函数中的应用

设f(x)、f’(x)及f”(x)在节点x_j(j=0,1,…,n)上的扰动界分别为ε、ε’及ε”,我们将给出两类分段三次Hermite插值的局部稳定界,并用它们讨论三次样条函数的局部稳定界。当节点上的导数代之以差商时。

旋转曲面保积逼近的Bezier方法

用Bezier方法给出旋转曲面保积逼近的两种具有不同光滑性的算法,它们根据两个反演公式得到。这些反演公式能从二次及三次Bezier曲线的端点和旋转曲面包围的体积确定中间控制点,Bezier方法具有计算较方便以及变形较小的优点。

关于四次缺插值祥条的适定性问题

[1]、[2]对亏度为2的四次插值样条提出了三类适定的插值条件,其中的每一类都限于有一个插值节点位于子区间[x_(i_1),x_i]的中点x_(i_1/2)=x_(i_1)+x_i/2处。本文考虑的四次缺插值样条将这个节点推广到一般的x_(i_1+λi)=x_(i-1)+λ_i(x_i-x_(i_1)处,其中0<λ_i<1,总共讨论了六类插值条件,分别指出使插值问题适定时λ_i的取应范围。特别对于均匀的分划h_i=b-a/n及λ_i=λ,根据节点,X_(i_1+λ)的导数f_(i-1+λ)^(j),j=0,1,2的不同阶对入的适定范围作进一步的分类讨论。

工科数学结构体系改革的设想

工科数学教改是一项长期的战略任务,涉及的面很广,本文仅就工科数学的结构体系方面谈谈为什么要改,怎样改以及如何实现改革等问题。一。

带多个形状参数的三次均匀B样条曲线的扩展

通过构造两类带多个形状参数的调配函数,生成三次均匀B样条基函数的扩展。基于给出的调配函数定义了两类带多个形状参数的分段多项式曲线。这些曲线具有三次均匀B样条曲线的绝大多数重要性质,能达到GC1或GC2连续。改变形状参数的值可以独立地调控各子段的端点的位置及其切矢的长度,对曲线进行整体或局部调整,甚至直接插值任何所需的控制点。

一类可调控Bezier曲线及其逼近性

给出一类具有ｎ＋１个控制点及一个附加参数ｌ的可调控Ｂéｚｉｅｒ曲线，它比原先的Ｂéｚｉｅｒ曲线更加保形于控制多边形，只要改变参数ｌ的值就能调控曲线的形状，并且当ｌ无限增大时。

参数曲线曲面自由变形的多项式因子方法

为得到理想的造型效果,提出一种空间参数曲线曲面自由变形的方法.首先引入基于多项式的伸缩因子,并构造了空间变形矩阵;然后将变形矩阵或伸缩因子作用于待变形曲线曲面方程,从而得到形变效果.实验结果表明,该方法计算简单、易于控制,可得到较好的变形效果.

多形状参数的二次非均匀三角多项式曲线

提出了一类带多个形状参数的二次非均匀三角多项式曲线,它是同类型单形状参数曲线的推广,具有二次非均匀B样条曲线的绝大多数性质。根据形状参数的不同取值,人们既能整体地又能局部地调控这类曲线的形状。并且无须采用重节点技术或解方程组,就能直接插值某些控制点或控制边。此外,它还能直接表示椭圆与抛物线。

Wang-Ball曲线的细分算法及包络

利用Wang Ball基函数的对偶基给出用显式表示的Wang Ball曲线的细分算法(细分矩阵),导出幂基函数在Wang Ball基下的Marsden恒等式,作为其应用还给出了几个相关的组合恒等式由Wang Ball基与Bernstein基之间的转换公式构造了Wang