半质环的一个交换性结果

本文证明了半质环的一个交换性结果，推广了文献［３］～［２１］中的相关结果。

Two Commutativity Results for Semiprime Rings

定理1 设R是半质环,m,n是固定正整数,且n>1.如果R满足条件(x^m y)~n-x^m y∈Z(R),(?)x,y∈R,则R是交换环.定理2 设R是半质环,m,n,s,t是固定正整数,且(m+n)t=s+1,mt>1.如果R满足条件[x^m,y^n]~t-[x,y^s]∈Z(R),(?)x,y∈R,则R是交换环.

一类环的结构

设Ｒ是一结合环，Ｎ表示Ｒ的所有幂零元形成的集合．本文证明了：定理如果环Ｒ满足条件：对于任意ｘ＿１…，ｘ＿ｋ∈Ｒ，存在依赖于ｘ＿１，…，ｘ＿ｋ的字ω＿１＝ω＿１（ｘ＿２，…，ｘ＿ｋ）和ω＿２＝ω＿２（ｘ＿１，…，ｘ＿（ｋ－１））满足｜ω＿１｜ｘ＿ｋ＞１，｜ω｜＿ｘ＿１＞１，和｜ω＿１｜≠｜ω＿２｜，使得ｘ＿１ω＿１（ｘ＿２，…，ｘ＿ｋ）＝ω＿２（ｘ＿１，…，ｘ＿（ｋ－１））ｘ＿ｋ，这里ｋ＞１是一固定整数，则（ｉ）Ｎ形成Ｒ的理想；（ｉｉ）Ｒ＝ＮＲ＿１，这里Ｒ＿１同构于一些域的次直和．特别地，如果Ｎ是交换的，则Ｒ也是交换的。