几类遍历性的显式判别准则(英文)

关于一维扩散过程或生灭过程的几类遍历性，新近很快地找到了显式判别准则，详见表５．１和５．２．其一是生灭过程的指数遍历性判准，曾是马氏链的一个长期未解决问题。有趣的是，此论题与多个数学分支有关。我们详细介绍后一问题的想法，也建议了若干进一步研究课题．

随机经济模型的优化──崩溃定理

首先概述一类宏观经济模型的的研究状况（包括华罗庚先生的基本结果）．然后证明无调控的随机经济系统必定走向崩溃．主要工具是有关随机矩阵乘积的最新进展。

谈谈概率论与其他学科的若干交叉

近一二十年以来,概率论获得了很大发展,特别是与其他学科交叉融合,形成了一些新的学科分支和学科生长点．我们首先从2002年国际数学家大会(ICM2002)所反映的情况予以说明．作为这种交融的一个侧面,也概述我们研究群体的三项成果．最后介绍取得这些成果的一种数学工具及其与线性规划和非线性偏微分方程等学科的联系．

经济最优化的随机模型(Ⅰ)

本文首先提供华罗庚“计划经济大范围最优化的数学理论”的基本定理的另一证法。然后说明,对于这一理论,随机因素是不可轻视的.本文中,我们建议一种相当一般的概率模型和两种具体模型:正态模型与2/3模型.

各种稳定性统一的速度估计（英文）

为研究一些无穷维对象(例如统计物理中的相变),人们发展了若干数学工具,其一为各种稳定性/不稳定性的速度估计.本文对于最简单的一类马尔可夫过程一生灭过程的各种稳定性/不稳定性,汇集了一些预料不到的、统一的、近乎精确的基本估计.还讨论了若干背景和扩充.本文源于在几个国际会议上的报告.

随机场概论

二十几年前,诞生了“随机场”这一概率论与统计物理的交叉学科.它一方面大大扩充了概率论的研究领域,另一方面为统计物理提供了一种严格的数学工具.这个学科及共它概率物理分支,代表着当今数学与物理相互渗透的大潮流的一个重要侧面.新近超导研究的突破,为随机场提出了许多迷人的新课题,带来了巨大的推动力.

经济最优化的随机模型(Ⅱ)

本文研究随机经济模型的稳定性。首先,我们讨论一种类似于决定性情形的弱稳定性。然后,我们证明:在较弱的条件下,从决定性的初始产综出发,齐次的随机模型必定走向崩溃。

特征值,不等式和遍历定理(英文)

在前一文（陈（1999e））中，已综述了1992－1999年间所取得的关于标题所示的三个方面的主要成果．本文介绍用于证明这些结果的主要方法．主要有两种．其一是概率方法－耦合方法，其二是来自黎曼几何的Cheeger方法．最后，展示了遍历理论的一个新图象．本文相当自给自足．我们选择若干典型结果，给出完整的证明，并采用尽可能初等的语言．希望能为读者较快地提供这个活跃领域的新发展、新想法的概览．因论题很宽及篇幅所限，许多优美结果和大量文献均被省略．本文的部分材料已发表于陈（1994，1997，1998a）

交叉研究的感悟

本文是基于北京大学"许宝騄讲座"(2019/3/22)及随后在各地的报告扩充而成.开头是受惠于许宝騄先生的一些回忆;末尾是感谢北京大学一批老师几十年来的支持和帮助.中间的主题部分先给出个人交叉研究的概述.然后从来自计算的挑战,进入一年多来笔者关于具有实谱的复矩阵理论的研究.这涉及计算、概率、统计力学和量子力学等领域.随后介绍算法方面的最新进展,此乃概率论与计算交叉的又一案例.作为结束,也略述交叉研究的感悟.

Q过程唯一性的实用判别准则（英文）

首先简要介绍自1977年左右开始的寻找连续时间马尔可夫跳过程实用的唯一性充分条件的故事.对于一般状态空间的一般性结果是1985年得到的.为展示这些充分条件的精确性,于1991年找到非唯一性的对偶判别准则.本文主要限于离散空间(此时的跳过程也称为Q过程或马尔可夫链).在这种情况下,我们将在文末证明上述充分条件也是必要的.我们还将举例说明不论对于唯一性或非唯一性,我们的充分条件不仅强有力,而且精确.

概率论的进步

本文是笔者关于概率论进展专题所写的第4文.前3文见[1],[2],[5].这里,先简要介绍十年来概率论走向成熟的若干标志性事件;介绍这个相对年轻数学学科的成长点滴.然后结合个人经历,着重介绍十年来概率论与统计物理及数学其它学科分支的交叉渗透的若干成果.本文并非学科综述,而只是希望通过一、两个侧面,展示概率论的发展和进步.

把毕生献给我国的数学事业——祝贺严士健教授七十五华诞

今年是严士健教授的七十五华诞．衷心祝愿我们的导师健康长寿!严士健先生1929年4月1日出生于湖北麻城．1952年毕业于北平师范大学并留校任教．分别于1961年和1978年晋升为副教授和正教授，并被评为首批博士生导师．从1982年起。

ωB-方程在瞬时Q-过程问题中的应用

马尔可夫过程论的一个基本问题是:给定Q-矩阵Q,何时存在相应的Q-过程?若存在时何时唯一? Q全稳定时,P(t)的存在性由W.Feller(1940)和J.Doob(1945)解决。全稳定保守Q-过程的唯一性由W.Feller和G.E.H.Reuter(1957)解决。全稳定非保守的唯一性由侯振挺(1974)解决。关于瞬时态情形,虽有不少人研究但结果不多。

概率核的存在性及转移概率的可微性

本文给出了某个概率核存在的充要条件.结合已有的结果,我们得到了抽象空间中跳过程的转移函数关于时间参数t可微的充要条件.

马链的基本耦合

研究耦合的原因在于:对于两个不同的过程,要直接地比较它们之间的关系,往往相当困难。耦合的想法就是要把这两个过程放到同一个概率空间上,即构造乘积空间中的一个新的过程——耦合过程,使它的边缘过程就是原先的两个过程。然后,通过新过程的某种序结构来达到比较原过程的目的。耦合方法最先出现于无穷质点马程的研究,而后被许多人所应用和发展。关于马链的耦合,其作用将会在以后的文章中看到。本文的目的是建议一些两个或多个连续参数的马链的基本耦合。我们将给出相应的保序性条件。

生灭矩阵重构三弦乐谱

三弦乐谱可由三对角复矩阵生成,人们听到的声音由其谱决定,自然要求此矩阵有实谱.如同量子力学,模型的描述是复算子,可观测量是实的.换言之,所述的三对角复矩阵应是关于某个测度的复内积空间上的自共轭算子.熟知,生灭Q矩阵可配称,自然就是自共轭的.我们将要介绍最新的一个代表性成果:对于相当广泛的自共轭三对角复矩阵,总可以构造出一个生灭Q矩阵,使得两者等谱(简单地说,两者有完全相同的特征值).这个问题浅显易懂,但我们曾在不同时期,从概率论、统计物理和计算数学三个不同的角度研究过,经历了漫长的求索岁月.本文是根据作者在"International Conference on Probability Theory and Its Applications"(湖南文理学院,2018年7月)的报告整理而成.共分三部分:1)生灭过程的新应用;2)从(非对角线元素非负的)实可配称矩阵到复可配称矩阵;3)此课题的来源(计算)及其判别准则的应用(统计物理及量子力学).

主特征值估计的新故事

本文介绍主特征值估计的两种通用方法，着重于两个侧面：来自黎曼几何的第一种方法如何应用于概率论；来自概率论的第二种方法如何应用于黎曼几何．此外，还将概述若干基本结果．

Dirichlet型和可配称跳过程

本文研究了跳过程的Dirichlet型理论,改进了可配称跳过程的唯一性定理。作为本文结果的直接应用,给出了可配称跳过程所导出的半群的一致衰减估计以及这类过程的大偏差速率函数的完全刻画。

耦合方法在流形第一特征值问题上的应用

流形上的Laplace算子的第一特征值问题是微分几何和数学物理长期关注的重要课题,已有众多成果,详见丘成桐和孙理察的书。此处概述几个重要结果。设(M,g)为d维紧Riemann流形,g为Riemann度量,Δ为Laplace算子,其第一特征值记为λ。假定Ricci曲率有下界-K即Ric_M≥-Kg,K∈R。1958年,Lichnerowieztz证得如下估计: