从类比的角度探究正多面体的对偶现象

2018年高考结束后,我看到江苏卷第10题是一道立体几何问题:如图1所示,正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为____.让我感兴趣的是,正方体各个面的中心恰好构成一个正八面体(每个面都是正三角形,如图1),这其中有着什么样的规律呢?于是借助于网络检索和动态几何软件(几何图霸),我展开了一番探求.

“算一次”不行,就“算两次”

首先来看一道题:试用两种方式表达该正方形的面积,你发现了什么?S=(a+b)~2,S=a^2+2ab+b^2解我们可以得到完全平方公式:(a+b)~2=a^2+2ab+b^2.早有接触的完全平方公式,想必大家不会陌生,而这种用不同的形式表示同一量,从而建立相等关系的'算两次'的方法在数学中也常常会用到.其实,我们在做计算题的时候,常常会采用不同的算法来检验计算结果是否准确,不也是'算两次'吗?