2017—2018美国国家队选拔考试

1.对于素数p、正整数e,n=p^e能使得等号成立.用[a,b]表示集合{a,a+1,…,b}.则容易得到下面的引理.引理记φ为欧拉函数.若a、d均为正整数,则[a,a+d-1]中有φ(d)项与d互素.设d1,d2,…,dk为n的所有正因数.

2019美国国家队选拔考试

1.在ΔABC中,M、N分别为AB、AC的中点,点X满足AX与ΔABC的外接圆相切.过点M、B且与MX相切的圆为ΓB,过点N、C且与NX相切的圆为ΓC.证明:圆ΓB与ΓC的一个交点在直线BC上.

2020美国国家队选拔考试

1.选取正整数b_(1),b_(2),…满足1=^b_(1)/1^(2)>b_(2)/2^(2)>b_(3)/3^(2)/b_(4)/4^(2)>….对于所有的正整数n,记r是满足b_(n)/n^(2)≥r的最大实数。对于所有可能选取的数列{b_(n)},求r的所有可能的值。