微分方程解的存在定理及稳定性

前言:对一个微分方程以及方程组积分的基本问题乃是寻求所有解并研究它的性质。 如果能将所有解用初等函数表示,那么研究解的性质不会出现大的困难,但这种情况是极少的。有些方程能够求积,即将给出的微分方程化为初等函数不定积分的计算,但这种方程遇到的也相当少,这种方程最常见的类型我们已研究过。 在一般情况下微分方程不能求积,那时采用逼近法积分,通常求满足某些补充条件的解,即解柯西问题或极限(边界)问题。 如果解柯西问题,即寻求满足初始条件的解,仅当我们事先知道满足给定初值条件的解在我们关心的自变量变化的区域内存在并且有定义时,在这种情况用逼近法才能够给出微分方程所求解的真实表达式。 我们将阐明柯西问题解存在的三个基本定理:皮卡尔定理,柯西定理以及皮亚拿定理,通常给微分方程加上相应的基本条件。其中的两个(皮卡尔定理和柯西定理)不仅确立满足给定的初始条件的解存在而且唯一。这些存在与唯一性定理对所有自然科学有原则意义,因为它们确立了某种现象,按它微分的性质和初始数据,保证求得完全确定的规律性。因为许多自然现象它对应的规律可借助于微分方程来表示,所以这点特别重要。