第35届IMO试题解答

1.（法国）设m和n是正整数,a1,a2,…,am是集合{1,2,…,n}中的不同元素,每当ai+aj≤n,1≤i≤j≤m,就有某个k,1≤k≤m,使得ai+aj=ak。求证:（a1+a2+…+am）/m≥（n+1）/2。 证明 不妨设a1】a2】…】am,关键在于证明,对任意i,当1≤i≤m时。

某些特殊曲面和子流形的等周不等式

本文讨论了Ｒ３内具常平均曲率曲面的等周不等式对于欧氏空间内极小子流形，假如子流形的边界具备某些特殊条件。

给定主曲率函数的曲面存在性定理

本文给出了Ｒ３，Ｒ２，１内给定主曲率函数的一类特殊曲面的局部、整体存在性定理的一个充要条件．

第35届IMO试题

第35届IMO于1994年7月12日到7月19日在香港举行,69个国家和地区的385名选手参加了角逐。7月12日下午举行了开幕式,7月13日、14日两个上午举行了考试,7月16日下午阅卷、协调完毕,全部选手成绩打印装订成册,7月17日晚上,在香港科技大学承行了本届竞赛最后一次领队会议,经表决,获4O分、41分、42分者为金牌选手,获30分至39分者为银牌选手,19分至29分者为铜牌选手,在全部参赛选手中。

完备黎曼流形上的最大值原理

本文找到了完备黎曼流形上有上界的可微函数的最大值原理的一个几乎最佳条件.

关于Weingarten超曲面存在性的一个定理

给定R^(n-1)(n≥3)内开子集(0,∞)^(n-1)上一个C^1函数K_n=f(K_1,…,K_(n-1)),一定存在R^(n+1),S^(n+1),R^(n,1)和H^(n+1)内n维Weingarten超曲面,使得n个主曲率恰有上述函数关系。

R^3内给定Gauss曲率函数的旋转曲面的存在性定理

本文在R^3内给出了具有给定平均值零的Gauss曲率函数的旋转曲面的存在性定理。

第35届IMO预选题

本届预选题一共24题,其中6题已选为考题,现将其余18题刊登出来,供师生们参考,解答将陆续给出。 代数部分（共5题） 1.（美国）设a0=1994,对任何非负整数n,an+1

S^(n+1)(1)内凸超曲面为边界的区域的第一特征值估计

Ｍ是Ｓｎ＋１(１)内紧致嵌入凸超曲面．Ｍ分Ｓｎ＋１(１)为两个连通区域Ω１和Ω２．Ω１＝Ｍ和Ω１是凸的．本文估计了Ω１的Ｌａｐｌａｃｅ算子的第一特征值的下界．

无脐点曲面的特殊保角变形

本文部分地推广了除省身教授１９８５年关于局部等距变形曲面的一个定理．

数学奥林匹克高中训练题(16)

第一试 一、选择题(每小题6分,共36分) 1.一元二次复系数方程x^2+ax+b=0恰有两个纯虚根,则( )。 (A)a是零,b是负实数 (B)a是零,b是纯虚数 (C)a是纯虚数,b是实数 (D)a是纯虚数。

1994年国家数学集训队测验试题及解答(中)

本文讲授1994年国家数学集训队测验试题中的几何部分。几何题一共有9题,据作者所知,其中7题是新的,2题是成题。 10.(第5次测验第1题,黄宣国供题) 在一个光滑的桌面上,放有半径分别为1,2,4的三个木球,每个木球均与桌面相切,并且与其余两个木球外切。另外,在桌面上还有一个半径小于1的小木球,与桌面相切,并且与三个木球都外切。求这个小木球的半径。

1994年国家数学集训队测验试题及解答(下)

这里介绍1994年国家数学集训队测验题中的组合数学和数论部分,共有9题,4个新题(本文1-4题),5个成题(本文5-9题)。

1994年国家数学集训队测验试题及解答(上)

1994年3月,国家数学集训队在集训期间,一共测验了9次,每次3小时,解3个题目,共27个测验题,据作者所知,其中一部分是供题者创造的,一部分是国外杂志上的,也有少量题散见在中文书籍、杂志上,在这9份测验试卷中,黄宣国提供了4份,计12个题,夏兴国、黄玉民、李成章、舒五昌和过伯祥各提供了1份,每人计3个题。 关于全部测验试题及解答。

1994年上海市高三年级数学竞赛

13.在一个棱长为6cm的密封正方体盒子中放一个半径为1cm的小球,无论怎样摇动盒子,小球在盒子中不能达到的空间的体积是______cm^3(盒子的厚度不计)。 14.两个两位数,它们的差是52,它们的平方的末两位数字相同,则这两个数是_______。

R^3内具给定平均曲率的闭曲面

设H~*是R^3内某个开区域内的实值函数,在H~*上加两个条件,在R^3内能找到同胚于给定闭曲面(任意亏格)的曲面,其平均曲率由H~*给出。

ISOMETRIC DEFORMATION BETWEEN SURFACES WITH CONSTANT MEAN CURVATURE

In this note, we shall prove an interesting result.Theorem. Let 2 be a piece of surface without an umbilical point in 3-dimensional constant curvature space M3（C） and possess a constant mean curvature C1 （C1】0）. ∑ can be isometric to a piece of the surface ∑* without an umbilical point, ∑* owning a constant mean curvature C2（C2】0 and C1≠C2） in M3（C）

COMPACT HYPERSURFACES IN ELLIPSOID WITH PRESCRIBED MEAN CURVATURE

S^n(1) and S^1(1)×S^1(1) can be embedded into special ellipsoid with suitable mean curvature

GENERALIZED CLIFFORD TORUS IN S^(n+1)AND PRESCRIBED MEAN CURVATURE FUNCTION

Given some function H（X）,one can find a compact hypersurface in Sn+1,which ishomeomorphic to Sm（1）×Sn-m（1）and whose mean curvature is given by H（X）.