混合型偏微分方程——分析和应用

偏微分方程(Partial Differential Equations,PDEs)是众多数学和科学进展的核心.尽管在过去的80年中标准型偏微分方程的理论获得了巨大进展,但是混合型非线性偏微分方程的分析仍处于发展初期.本文的目标是通过若干流体力学,微分几何以及其他领域中的长期基本问题.

看数学文献

如果你认为你的工作越来越难了,那你是对的.数学文献无情地增长,并且在这过程中越来越难刻画.出版和发表手段的改变也史无前例.同时,文献统计也凭其表面上的客观性吸引管理人员,从而吸引研究人员做出相应的反映.我们利用《数学评论(Mathematical Reviews)》数据库(Mathematical Reviews Database(MRDB))包含的信息(这些支撑着数学科学网(MathSciNet)),来看一下这3个问题.

双曲世界中的Euclid旅行者

我们将讨论在各种不同几何空间中一条Euclid(欧几里得)直线的所有可能闭包.想象一个仅沿一条Euclid直线运动的Euclid旅行者.她将旅行到许多不同的几何世界中,我们的问题将是:她在每个世界都能看到什么地方?

守恒律和常平均曲率(超)曲面的黏合构造

1.引言在这篇文章中,我们来全面评述Euclid(欧几里得)空间中的常平均曲率(constant mean curvature(CMC))超曲面理论的现状.我们的重点是黏合构造和守恒律,并突出在黏合中守恒量的作用CMC理论和极小曲面在变分法中有经典的根基,这是一个由Euler(欧拉),Lagrange(拉格朗日)及18世纪其他人最早研究的数学分支.

素数的音乐

很久以来,人们一直在讨论数学和音乐的相似性.Leibniz(莱布尼茨)曾经说过“音乐是人类思想在并没有意识到是在数数计算的数数计算过程中所感受经历的愉悦”.但是这种相似性并不仅仅是数字上的.一部音乐创作的美和最好的数学作品之间有很多的共同之处,当主题建立好,接下来就是变换和交错编织,直到我们发现我们变换到了一个新的地方.

机器学习:数学理论和科学应用

本文基本上是2019年7月15日在瓦伦西亚(Valencia)的国际工业与应用数学大会(ICIAM)所做的Peter Henrici(亨里齐)奖报告的文字本.这个报告的目的是给出一个关于以下内容的概括介绍:用以解决多个学科中一些最具有挑战性问题的关于集成机器学习和科学建模(例如基于物理学的建模)的一些当前工作,关于构建机器学习的数学理论的一些当前工作.

椭圆曲线无处不在

椭圆曲线出现在数学和科学的很多分支中.代数几何,抽象代数,以及甚至计算机科学.在这篇文章中,我提供了一个对这个主题的简单介绍,并探讨应用椭圆曲线回答来自各种领域的问题的诸多方法.

Kardar-Parisi-Zhang泛性

1.随机系统中的泛性复杂随机系统中的泛性(universality)是一个引人注目的概念,在概率,数学物理和统计力学方向的研究方向中起着重要的作用.在这篇文章中,我们将描述多种不同物理系统和数学模型,包括随机界面生长,某些随机偏微分方程,交通模型.

从零熵到正熵

在一般科学中,短语“通往混乱的道路(routeto chaos)”已经成为指代当某物理的,生物的,经济的,或社会的系统从一个表现秩序(order)的状态转变为一个显示随机性的状态(或混沌(chaos))的隐喻.有时,目标是要理解哪些普遍的机制能解释该转变,我们如何能描述处于有序和完全的混乱之间区域的系统.换句话说,目标是理解当控制系统行为的参数变化时,一个系统从一个递归集(recurrent set)是有限的之状态演化到一个显示出混沌行为状态的数学过程.这只在1维动力学的情形已被理解.这篇文章展示了允许我们离开那些局限性的新的方法。

Penrose平铺讲义(Ⅱ)

5.一个Penrose平铺的存在性5.1 K,D对全平面的平铺的存在性到目前为止,我们还从来没有证明平面可以由K,D拼上.我们将用扩张定理.从覆盖O点附近某个小圆盘Br(O)的任意的部分平铺入手.通过运用膨胀(inflation)n次,你得到一个覆盖圆盘BФ^(nr)(O)的K,D的部分平铺.

引力波的数学

一百零几年之前,Albert Einstein(爱因斯坦)预言了引力波作为他的广义相对论理论的可能结果的存在.两年以前,这些波首次被LIGOU探测到.在这期的《美国数学会通讯(Notices of the AMS)》中,我们来关注这个意义深远的发现背后的数学.

谜与Fields奖章

在2014年国际数学家大会开始前的周末,我在《纽约时报(New York Times)》上发表了有关Fields(菲尔兹)奖历史的专访.这篇文章讨论了许多数学家熟悉的两个主题,虽然不一定是普通大众也熟悉的.我提出,在我的研究过程中发现的这两个故事之间以前没被看到的联系,有助于阐明政治与现代数学之间的关系.

陷俘面,黑洞的拓扑,和正质量定理

1.引言:最初发表于1915年的Albert Einstein(爱因斯坦)的广义相对论,成功地将狭义相对论和引力统一在一起,并推出诸多继而被证实的预言,成为20世纪物理学最伟大的成功之一。或许该理论最轰动的特征之一就是黑洞的概念--一个即使是光也无法逃逸的区域但是精确来说什么是黑洞?黑洞在宇宙中真实存在吗?黑洞和数学有什么关系?

负质量粒子与Krein-Moser理论

想象一下质量为负的物体,这看起来像是一个课堂上的练习.但事实表明,我们可以用负质量粒子的出现来诠释一些真实的物理现象.做为对负质量的奇怪世界的初步认识,图1中是两个由Hooke(胡克)弹簧连接的等值但反号的质量.

一个类光几何Penrose猜想的证明

从1973年开始,Roger Penrose(彭罗斯)想弄明白宇宙的质量和黑洞的贡献之间的关系([1],[2]).我们能看到的全部只有它们的边界或说“视界(horizons)”,其大小应该决定了它们的质童贡献.他猜想一个包含视界面积之和为|∑|的黑洞的时空的总质量.

Penrose平铺讲义(Ⅰ)

1.什么是一个平铺?1.1例子用多边形对平面的一个平铺(tiling)(或者叫镶嵌(tessellation)),是用多边形对这个平面的一个覆盖(covering),使得平面上的每个点都位于某个多边形内,并且多边形之间除去可能沿着它们的边界(在边上或者在顶点上)之外没有重叠.