Fibonacci数之商

多年来在《美国数学月刊(America Mathematical Monthly)》上关于商集合有很多文章.这里我们进入p-进制框架走第一步,我们希望这将激起进一步的研究.我们证明,对于每个素数p,非零Fibonacci数之商的集合在p-进数域中是稠密的.第n个Fibonacci(斐波那契)数几由递推关系Fn+2=Fn+1+Fn以及初始条件F0=0和Fi=1所定义,令F=(1,2,3,5,8,13,21,…)表示非零Fibonacci数的集合,并令R(F)={Fm/Fn:m,n∈N}是F中元素所有商的集合,并令R(F)={Fm/Fn:m,n∈N)是F中元素所有商的集合,Binet(比内)引理Fn=1/√5(φ^n-φ^n)蕴涵着当n→∞时|Fn-φ^n/√5以指数形式趋于零[37,p.57],(1)式中φ=1+√5/2=1.618…以及φ=1-√5/2=-0.618…因而,作为R的一个子集,R(F)只在点φ^k(k∈Z处有聚点[8,例17])。另一方面,R(F)是有理数系Q的一个子集,它可以被赋予不同于由欣诱导的度量.对每个p,在Q上有p-进制度量,关于此度量,Q可以被完全化从而形成p-进数集Qp.本文的目的是证明下述定理.