构图艺术中的数学:黄金分割

在数学中,有一个比例像诗一样美妙,它就是“黄金分割”.艺术家们在绘画中应用“黄金分割构图法”,使画面给人以自然、舒适、妙不可言的感觉.除了构图艺术中的应用,黄金分割还广泛应用于美学、音乐、建筑、生物学、生产生活等各种各样的领域,蕴含着丰富的跨学科知识.近年来,各地中考与高考中也不断融入黄金分割相关试题,回应数学课程改革对数学美的要求.

Gergonne线平方和的上下界估计

△ABC的内切圆与三边BC,CA,AB的切点分别为D,E,F,则AD,BE,CF交于一点J,称此交点J为Gergonne点,AD,BE,CF称为过J点的Gergonne线.如图1所示.

无限风光在“移项”——化解函数与方程动态分析中的难点

动态分析是高中函数的主要难点之一.提高动态分析能力离不开数形结合,因为数形结合在一定程度上帮助我们实现了思维可视化,在“移项”变形过程中寻找最佳的作图时机则是其灵魂所在.

三角形外角平分线的一个性质——兼擂题(150)解答

本刊解题擂台(150),本文给出一个证明.证明在△ADC中,由塞瓦定理得AE ED.DB BC.CG GA=1.由AE=ED得CG GA=BC DB,⇒CG GA+1=BC DB+1⇒AC AG=CD DB,①在△ABC中,由外角平分线定理得AC AB=CD DB,②由①和②得AG=AB.

巧用对称轴 速解三角题

在三角函数y=Asin (ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)的图象中,其单调性在对称轴处发生转折,如果我们在解题中能巧妙利用对称轴,找到一些相等或不等关系,能使问题迎刃而解,达到速解目的.现举几例,供大家参考.

一道模拟题的解法探究、背景揭秘和结论推广

文章探究一道椭圆模拟题的解法,根据解题思路,把题目中的参数一般化后揭秘了多角度命题背景,把多角度命题背景中的参数特殊化后又回归统一几何含义得到一些推论,然后将命题背景和推论类比推广到双曲线和抛物线中.研究结果为求解和命制圆锥曲线定值定点问题提供了新的思路,研究过程为圆锥曲线解题教学和学生分析问题提供了新的参考.

一道不等式问题的多视角求解

题目(2023年全国高中数学联赛福建省预赛)若不等式1/√20a+23b+/√23a+20b≥λ/√a+b对所有的正数a,b都成立,求λ的最大值.此题考查了考生转化与化归、运算求解以及探究性思维能力,试题思维入口宽,解法丰富多样,可以采用先猜后证、利用基本不等式、构造函数等多种方法求解,是一道有显著特色的题目.

两道疑难平面几何问题的解法探究

在为学科教学(数学)专业的研究生授课时,《数学解题研究——数学方法论的视角》[1]中的两道平面几何问题引起了笔者的注意.这两道平面几何问题表达简洁、图形简单,然而解决起来并不容易,是培养学生数学逻辑思维能力的良好素材.为此,笔者展开了从初中视角到高中视角的一系列证法探究,现整理成文,供参考.

从课本的一道习题谈起--趣谈基本不等式的无限加长

(苏教版必修1P70练习16)如图1,ABDC为梯形,其中AB=a,CD=b,设O为对角线的交点,GH表示平行于两底且与它们等距离的线段(即梯形的中位线),KL表示平行于两底且使梯形ABLK与梯形KLDC相似的线段,EF表示平行于两底且过点O的线段,MN表示平行于两底且将梯形ABDC分为面积相等的两个梯形的线段.

一题多解 探究推广 题目溯源--以一道模拟题为例谈解题教学

解析几何中的定点定值定线问题,以其呈现形式多样,理论背景深刻,解题思路灵活而深受命题人、解题人及其研究者喜欢.此类题目对培养学生逻辑思维能力、运算求解能力、空间想象能力、数学建模能力和创新能力有突出价值.教学中此类题有注重罗列解法,忽视背景整合;注重机械刷题,忽视高考真题与教材等现象.本文以一个模拟题为例谈对这类题目的一题多解、探究推广、题目溯源,供参考.

数学实验法构造斐波那契恒等式

著名的斐波那契数列F_(n)通常定义为:F_(1)=F_(2)=1,F_(n+2)=F_(n+1)+F_(n),n为正整数,其中前10项为{1,1,2,3,5,8,13,21,34,55},这些数在后文中会反复出现.一些资料上记载了关于斐波那契数列的恒等式.这些恒等式如何得到,能不能批量生成?本文将利用数学实验的思路,通过解线性方程组,建立关于斐波那契数列的恒等式.

面积坐标及其应用

1引言面积坐标在处理几何问题,尤其是三角形问题上,会比直角坐标和极坐标更方便.笔者从“奔驰定理”出发,给出面积坐标的定义,然后结合定义得到面积坐标的性质.最后给出面积坐标的几个重要定理及其应用.

构造两类概率模型解决相关不等式问题

虽然数学的各分支都有自己的研究方向和重心,但相互之间并不存在不可逾越的鸿沟.构造概率统计模型解决问题,是一种富有创造性的思维方式,它为我们解题提供了另一途径,不失为一种好方法,该方法对于培养学生思维的广阔性和创造性,具有重要的意义.

从解题到解决问题

1问题提出《普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订)》中指出平面解析几何解决问题的基本过程:根据具体问题情境的特点,建立平面直角坐标系;根据几何问题和图形的特点,用代数语言把几何问题转化成为代数问题;根据对几何问题(图形)的分析,探索解决问题的思路,运用代数方法得到结论,给出代数结论合理的几何解释,解决几何问题.突出了所用的研究方法主要是代数方法[1].

一道模考试题的解答与推广

本文旨在给出一道2024年湖北省黄冈市解析几何试题的解答与推广,得到在椭圆、圆和双曲线中3个相关的定点定值命题.

例谈“方差”模型在求解数学竞赛题中的妙用

数据方差公式是统计中的重要公式,除了用于判断数据的波动程度的大小外,在解决数学问题时具有极其广泛的运用价值.对于数学中的其它一些问题,若能根据特点,巧妙应用或构造“方差”模型来求解,则思路清晰、明快简捷,常常会有出其不意的解题之效.

一道市级联考题的解法探究与推广

近期笔者在解题教学时遇到一道市级联考题,考查了双曲线的几何性质,也考查了分析问题,解决问题的能力尤其是运算求解能力,本文现对其解法进行探究,并给出一般性的结论.题目(2022年南京市高二期中考试第22题)已知双曲线C:x^(2)/a^(2)-y^(2)/b^(2)=1(a>0,b>0)的离心率为√3.

几道竞赛题的另解策略

问题呈现:题1(“希望杯”全国竞赛题)如图1,在△ABC中,∠B=60°,延长BC到D,延长BA到E,使AE=BD,连接CE、DE,若CE=DE,求证:△ABC为等边三角形.题2(全国初中数学联赛题)如图2,在△ABC中,已知∠CAB=60°,D、E分别是边AB、AC上的点,∠AED=60°,且ED+DB=CE,∠CDB=2∠CDE,则∠DCB=______.

对2023年高中数学联赛四川预赛第9题的探究

1.试题呈现题目已知抛物线Γ的顶点是原点O,焦点是F(0,1),过直线y=-2上任意一点作抛物线Γ的两条切线,切点分别为P、Q,求证:(1)直线PQ过定点;(2)∠PFQ=2∠PAQ.

“参数法”在初中数学竞赛中的应用

“参数法”是指在解题的过程中,根据问题特点,引入一些与问题所研究的数学对象产生联系的辅助变量,即参数,以此作为联系“已知量”与“未知量”的媒介,再通过分析和综合,从而解答问题.“参数法”是解题中一种行之有效的方法,是避免盲目或循环运算的强有力手段,应用“参数法”可使解题过程化繁为简、化难为易.下面举例解析“参数法”在解数学竞赛题中的应用.