改进的Mertens第一定理估计及应用

在Mertens第一定理的基础上,利用定积分估计的主要思想和Stirling’s公式的估计,对Mertens第一定理中的估计不等式进行了进一步的精确化,得到了更好的估计。改进的估计结果比原来的Mertens第一定理中的估计更加精确。把改进的Mertens第一定理估计应用到一个具体的渐近公式中,提高了该渐近公式中Landau记号里对应常数的精度范围。

三类低复杂度基及其对偶基

设N={α_(0),α_(1),…,α_(n-1)}是E在F上的一组基,构造了一类给定乘法表及复杂度为3n-2的低复杂度正规基,根据迹函数和乘法表的相关概念,证明其对偶基M的生成元的形式,并证明了对偶基的复杂度为3n-2或3n-3.计算了E在F上的伪自对偶多项式基和弱自对偶多项式基的复杂度.为密码学领域寻找优化的算法,选择合适的基提供了理论依据.

“铸魂育人”视域下初等数论课程思政教学探索

课程思政是新时代背景下高等学校落实“立德树人”的重要手段,对培养适应社会发展的人才发挥着非常重要的作用。初等数论课程是数学和小学教育专业重要的必修基础课之一,对培养适应社会发展的高素质教育建设者和接班人具有重要的影响,基于“铸魂育人”理念,结合课程内容特点,以培养学生的科学精神、文化自信、美学修养和创新思维的品行为主线,提出“四融入一渗透”的初等数论课程思政教学路径,将德育元素与专业知识融于一体,领会数学的魅力,有助于增强学生为社会服务的意识和能力。

不定方程∑_(i=1)^(m)x_(i)^(2)=∑_(j=1)^(n)y_(j)^(2)(m>n,m,n∈N_(+))的整数解

给出不定方程∑_(i=1)^(m)x_(i)^(2)=∑_(j=1)^(n)y_(j)^(2)(m>n,m,n∈N_(+))的一种参数求解方法,以及该不定方程的一种拆分求解方法.

椭圆曲线 y^(2)=x^(3)+99x-460 的整数点

确定椭圆曲线的整数点是一个有趣却困难的问题。该文运用同余、递归序列等初等方法研究了椭圆曲线y^(2)=x^(3)+99x-460,确定该曲线的全部整数点为(x,y)=(4,0),(7,±24),(31,±180),(53,±392),(592,±14406)。

Pell方程组x^(2)-40y^(2)=1与y^(2)-Dz^(2)=9的公解

设D=2p_(1)⋯p_(s)(1≤s≤4),其中p_(1),⋯,p_(s)是互不相同的奇素数。主要利用奇偶分析、同余、递归序列以及Pell方程解的性质等初等方法,对Pell方程组x^(2)-40y^(2)=1与y^(2)-Dz^(2)=9的公解进行研究。得出当D≠2×7×103时,该方程组仅有平凡解(x,y,z)=(±19,±3,0);当D=2×7×103时,除了平凡解(x,y,z)=(±19,±3,0)外,还有非平凡解(x,y,z)=(±27379,±4329,±114)。研究结果丰富了这类Pell方程组整数解的研究内容。

关于丢番图方程(1023n)^(x)+(64n)^(y)=(1025n)^(z)

设a,b,c是两两互素的正整数且满足商高数条件,即当a,b,c为本原商高数时,方程(an)^(x)+(bn)^(y)=(cn)^(z)仅有正整数解(x,y,z)=(2,2,2).而现有的丢番图方程形式并没有将b的具体形式与初等数论紧密结合,利用奇偶分析法、简单同余理论、将b取为26并与初等数论相结合,还运用了分类讨论、反证法的思想,具体为先采用反证法进行假设,根据所化简的等式选取合适的模数进行推算得出与假设相悖的结论,即证明了:若n为正整数,当(a,b,c)=(1023,64,1025)时,丢番图方程(1023n)x+(64n)y=(1025n)z仅有正整数解(x,y,z)=(2,2,2),以此验证Jesmanowicz猜想成立,这个证明结果使Jesmanowicz猜想更加充实.

不定方程13x^(2)-11y^(2)=2和48y^(2)-13z^(2)=35的公解

Gel’fond-Baker方法是20世纪超越数论的重要成就之一,该方法在不定方程求解方面具有广泛应用。运用Gel’fond-Baker方法,证明了不定方程13x 2-11y^(2)=2和48y^(2)-13z^(2)=35仅有公共解(x,y,z)=(±1,±1,±1),(±551,±599,±1151)。这改进了之前的结果|x|<0.92×2418393,|y|<2418393,|z|<1.92×2418393。

奶牛数之和为好奇数

本文旨在找到所有可以表示为两个奶牛数之和的好奇数。奶牛数列满足三阶递归关系:N_(n)=N_(n-1)+N_(n-3)(n≥3)及N_(0)=0、N_(1)=N_(2)=1。针对奶牛数之和为好奇数的问题,建立相应丢番图方程,将方程整理成不同形式,通过对数线性型求出各个未知量的一个较大的上界;再通过缩减方法,把各个未知量的较大上界缩减为一个可计算上界;最后,根据未知量的可计算上界,应用Mathematica得出所有可表示为两个奶牛数之和的好奇数。

广义Fibonacci序列的Dedekind和

设{U_(n)}为广义Fibonacci序列,n为自然数,根据Dedekind和的定义和相关性质,研究了广义Fibonacci序列的Dedekind和S(U_(n),U_(n+1)),得到了和式∑^(m)_(n)=1S(U_(n),U_(n+1))的结果,其中m为正整数,推广了文[8]中的一个结果.

Maass形式的傅里叶系数在算术级数中的渐近性

自守形式理论是现代数论的重要课题.自守形式的傅里叶系数蕴含了深刻的数论性质,其在数论中有许多应用.设f是本原Maass尖形式,λ_(f)(n)是它在尖点无穷远处的第n个傅里叶系数.结合经典的解析方法和一些本原自守L-函数的性质,本文研究了全模群上Maass尖形式的傅里叶系数在算术级数上的分布性质,得到了相应的渐近公式.

一类包含φ_(8)(n)的广义欧拉函数方程的可解性

根据广义欧拉函数φ_(8)(n)的准确计算公式,利用初等方法和技巧,研究当■时,方程■的正整数解(n,d),并得出其全部正整数解。

有限域上一类四次对角方程有理点的个数

设p为素数,k为正整数,F_(q)是q=p^(k)的有限域.用F^(*)_(q)表示F_(q)的乘法群,即F^(*)_(q)=F_(q)/{0}.设f(x_(1),…,x_(n))是F_(q)上的多项式,用N(f(x_(1),…,x_(n))=0)表示f(x_(1),x_(2),…,x_(n))=0在F_(q)上的有理点个数.1981年,Myerson给出了N(x^(4)_(1)+…+x^(4)_(n)=0)的递推公式.最近,赵等给出了N(x^(4)_(1)+x^(4)_(2)=c),N(x^(4)_(1)+x^(4)_(2)+x^(4)_(3)=c)和N(x^(4)_(1)+x^(4)_(2)+x^(4)_(3)+x^(4)_(4)=c)的精确公式,其中c∈F^(*)_(q).本文利用雅可比和以及一个类比Hasse-Davenport定理的结果给出了N(x^(4)_(1)+…+x^(4)_(n)=c)的精确公式,扩展了已有结果.

Diophantine equations and Fermat's last theorem for multivariate(skew-)polynomials

Fermat’s Last Theorem is a famous theorem in number theory which is difficult to prove.However,it is known that the version of polynomials with one variable of Fermat’s Last Theorem over C can be proved very concisely.The aim of this paper is to study the similar problems about Fermat’s Last Theorem for multivariate(skew)-polynomials with any characteristic.

形式幂级数∏^(∞)_(n=0)(1-x^(2^(n)))^(m)系数的无界性

设∏^(∞)_(n=0)(1-x^(2^(n)))^(m)为Prouhet-Thue-Morse序列的生成级数.设m≥2为正整数.令F_(m)(x)=(F(x))^(m)=(∏^(∞)_(n=0)(1-x^(2^(n)))^(m):=∑^(∞)_(n=0)t_(m)(x)x^(n).2018年,Gawron,Miska和Ulas猜想:当m≥2时序列{t_(m)(n)}^(∞)_(n=1)无界.对于m=3及m=2k的情形,他们通过研究tm(n)的2-adic赋值证明猜想部分成立.本文发展了一种新方法,即由序列{tm(n)}∞n=1的递推关系式得到一类反中心对称矩阵,然后通过计算其相应矩阵的特征值来证明猜想.利用这种方法,本文证明当m=5和6时猜想成立.此外,本文还给出了序列{t_(5)(n)}^(∞)_(n=1)和{t_(6)(n)}^(∞)_(n=1)的无界子列,以及{t_(5)(n)}^(∞)_(n=1)的一个子列的2-adic赋值表达式,进而证明了另一个关于{t_(5)(n)}^(∞)_(n=1)的2-adic赋值的猜想部分成立.

Sylvester级数展式中例外集的维数

在2018年,本文第一作者研究了实数的Sylvester级数展式中部分商的相对增长速度问题,并给出以一般函数速度增长的例外集的Hausdorff维数的下界.本文我们将进一步研究该集合,并精确刻画它的Hausdorff维数.同时作为应用,我们给出以多项式和指数速度增长时,相关例外集的维数结果.

Sylvester连分数展式中若干例外集的Hausdorff维数

对于任意实数x∈(0,1],记x=[d_(1),d_(2),···]为x的Sylvester连分数展式,令ψ(n)为N上的正函数,本文研究了集合A(ψ):■的Hausdorff维数.通过构造覆盖和合适的Cantor型子集,我们得到了该集合的精确维数为■同时,本文还考虑了Sylvester连分数展式的部分商满足■的极限是零或无穷时的集合的Hausdorff维数.

相邻自然数平方之间的可行数的个数

如果对于任意的自然数m满足1≤m≤h,m可以表示为h的某些因数的和,那么称h为可行数.文献[1]中提出了一个猜想,对于任意的自然数k≥1,存在N>0,当n>N时,在区间(n^(2),(n+1)^(2))内有k个可行数.利用文献[2]的定理9等一系列工具可以证明这一猜想.

几类无理数的无理测度

本文使用广义连分数去逼近er,tan (r),tanh (r),r∈Q*,判定他们是无理数,以及计算出其无理性测度为2。

P-Frobenius问题与p-对称数值半群

针对p-Frobenius问题中出现的非对称性问题,利用数值半群理论以及Apery集等工具研究了p-Frobenius问题对应的p-对称数值半群。首先利用数值半群和Apery集等工具对p-Frobenius问题进行预处理,得到了对应数值半群和Apery集的各个变量;并将这些变量与对称数值半群和Frobenius问题进行对比,由此定义了p-对称数值半群,并给出了p-对称性的刻画。在此基础上,首先给出了两大类p-对称数值半群,其次研究了对称数值半群与p-对称数值半群的p化关联性。这两类p-对称数值半群给出了大量具体实例,而p化关联性则可用于处理p-Frobenius问题中出现的非对称问题。