丢番图逼近与三角数列的极限

利用丢番图逼近理论中的无理测度方法得到了三角数列的一些极限公式,并给出了其在幂级数中的一些应用.

线性正则正余弦加权卷积及其应用

针对积分方程的求解问题,本文提出了利用卷积运算及其卷积定理来讨论两类卷积类积分方程组的解。首先,在线性正则正弦变换与线性正则余弦变换的基础上,定义了线性正则正余弦卷积运算及其加权卷积运算;其次,推导了相应的卷积定理,研究了该卷积与傅里叶正余弦变换卷积运算的关系;最后,讨论了两类卷积类积分方程组的解,给出了该方程解的一般形式。

基于导数张量的多元函数极值点判定

针对多元函数极值点判定问题,定义了多元函数的导数张量,给出了张量形式的多元函数带皮亚诺余项的泰勒公式,提出了基于张量的最大和最小Z特征值对多元函数极值点进行判定的方法.

一个新的积分第二中值定理

在加强了假设条件的基础上,得到了一个新的积分第二中值定理.与原定理相比较,新的定理具有明显的几何意义,更富有数学美感.另外,说明了不同形式的积分第二中值定理的相互等价性.

k-Bertrand判别法

正项级数的敛散性判别法中比较精细的有Raabe判别法、Gauss判别法和Bertrand判别法.在上述方法的基础上,给出了Raabe判别法、Gauss判别法和Bertrand判别法推广的统一形式,包括非极限形式、上、下极限形式以及极限形式,称之为k-Bertrand判别法.

关于n!的一个不等式

设n为正整数.以2023年天津市高考数学试题最后一题为背景,运用Abel分部求和法及幂级数展开证明了11/12<ln n!-(n+1/2)ln n+n≤1.这改进了试题所需结论及Rudin在名著《数学分析原理》(Principles of Mathematical Analysis)中给出的结果.

一道曲线积分计算题引出的思考

通过对一道曲线积分计算题的引深、扩展,启发学生思考,掌握有奇点的曲线积分的计算.

不平行方向导数下的二元函数全微分

通过利用线性代数中自变量空间的基变换方法,推演出二元函数全微分的两个方向不平行的方向导数的线性组合表示,然后在自变量空间的一般可逆变换下推演出全微分的这种表示,推广了二元函数全微分的表示形式,并解释了其几何意义.

几个特殊的定积分的计算探析

定积分计算是高等数学重要内容,其计算技巧与方法丰富且多变,常用方法有:N-L公式、分部积分法及换元积分法等,这些是常见的方法,容易理解和应用。但对于一些特殊的定积分,应用常用公式难求其值,因此,文章针对一些特殊函数定积分的计算,结合实际案例探析了巧用分部积分法、递推公式法、符号分区间法、恒等式求积分法、级数和求积分法等计算方法,旨在巧妙灵活求解定积分,节省计算时间,拓展解题思路,提高定积分的计算能力。

余元公式的一种直接证法

余元公式是数学分析中的一个重要公式,在积分学中有许多应用,但其证明往往繁琐复杂.本文通过直接计算有理函数积分证明了余元公式,适宜于数学分析课程中讲解,以供广大师生们参考.

柯西-施瓦茨不等式在多元函数最值中的应用

利用柯西-施瓦茨不等式,给出了一种求解含约束条件的多元函数最值问题的简便方法,并通过几个典型例题加以说明,以验证方法的便捷性与有效性.

一类新的多重积分不等式与等式的构造及其应用

首先引入二重积分的分部积分公式和柯西-施瓦茨不等式,然后利用它们构造一类新的二重积分的不等式与等式,并推广到三重积分,得到几个相关结论.最后给出几个具体应用实例,以验证其实用性.

巧用定积分解题

本文利用定积分方法来巧解数项级数求和、函数项级数部分和、求解函数方程等题目,抛砖引玉为大家提供一种解题思路.

一道二重积分的多种异向思维解法探讨

本文针对2022年全国硕士研究生入学考试试题中一道二重积分问题,探讨了运用Green公式、极坐标变换、对称性、挖补思想、区域可加性等多种计算方法,并给出了相应的分析过程及解答.

一道全国大学生数学竞赛试题的探究

对第十届全国大学生数学竞赛中的一道试题进行了推广与延伸,并给出了试题中不等式取得最优上、下界的充要条件.

实系数多项式实根范围的探讨

针对实系数多项式方程,在已知一个实根的条件下,给出了其余实根上、下界的估计.然后将结论推广至已知多个实根的情形,并通过例题加以说明.

一道2023年大学生数学竞赛试题的5种解法

对2023年大学生数学竞赛中的一道求积分极限试题进行分析,综合运用积分与极限的相关知识理论,对该题给出了5种解法。解法一用倒代换将被积函数改写成可分部积分的形式,再用夹逼准则求出极限;解法二用换元法将被积函数转化为含参量积分,然后运用含参量积分的连续性交换积分与极限运算的次序,得到一个可计算的定积分;解法三和解法四将被积函数表成幂级数,再用无界函数的反常积分、幂级数展开、函数项级数一致收敛性、极限与求和交换次序、积分与求和交换次序等知识点给出问题的解;解法五根据被积函数在某个充分小邻域内的无界性,将原积分表成两个积分之和,通过泰勒公式和夹逼准则求解。最后对给出的5种解法做了比较分析。

一类第二型曲线积分的四种计算方法

针对一类第二型曲线积分的计算问题,本文给出了四种计算方法.总体上这四种解法可归纳为三类:第一类是转化为第一型曲线积分,第二类是积分路线参数化,第三类是化曲线积分为曲面积分的Stokes方法.通过这些解法的讨论,有利于启发和提高学生综合分析问题的能力.

三角形的宽度

三角形有许多参数,例如边、角等,文中引入它的一个新参数——三角形的宽度,根据函数的极值理论,给出了它的一些良好的性质,推导出它的几个上界,说明了它的应用。

渐近线的定义与理解

根据现有资料对渐近线的定义及渐近线的求解方法,发现对渐近线的理解存在一些让人疑惑的地方.本文针对这些渐近线定义存在的问题,从极限的角度给出渐近线更为严谨的数学定义.