再谈探究条件类问题的思路——基于培养学生高层次思维的视角

一、背景,读了《中小学数学》杂志2020年12期高远的《探究条件类问题的两种思路》一文后,笔者深有感触.高老师在文中提及的“割补法”“逆推法”“特殊位置法”确实是解决条件类问题的好方法.另外,还有很多解决这类问题的方法,如“排除法”“比较法”“化归法”等.如何让学生在遇到问题时,能够冷静思考,顺利的找到解题的办法,是值得教师深入思考的问题.经过一段时间的实践和归纳,笔者发现学生思考水平的高低与其解题能力强弱有密切的关系.利用这个机会,从提高学生思考水平的角度,再次对探究条件类问题的常见思路进行归纳和总结.

射影定理中的韦达定理

射影定理是平面几何学中重要的定理之一.其数学概念是这样描述的:在直角三角形中斜边上的高是两直角边在斜边上的射影的比例中项,用等式表述为:AB=AD+DB,CD^(2)=AD·DB……(1).(如图1)

依目标 定主元 解答含参数问题——以一道中考题为例

含参数问题是指一类通常含有两个或两个以上变元的习题,如含有字母系数的代数式、方程、不等式、函数等.字母系数与具体的数字系数相比较,更具有一般性,抽象性,关于字母的运算、变形比关于数字的运算、变形难度更大,另外,参数字母与代数式、方程、不等式、函数中的字母的关系的处理,也是此类问题求解的难点.

三尺讲坛四十载 点线角面演绎数学魅力——读周长生先生的《初中数学自学读本》

著名数学教师周长生是北京四中原数学组组长,他毕业于北京大学物理系.自1949年到校至1986年离休,一直在北京四中任教。曾担任多届北京数学会理事,是第五届全国人大代表和第七届北京市人大代表.被聘为国家考试中心兼职研究员,连续八年参加全国高考数学学科命题工作,编写教学文集、教学参考书和数学辅导读物十多部,是一位德高望重、教学成果丰硕的优秀教师.“三尺讲坛四十载点线角面演绎数学魅力,一份执念近百年鞠尽痒培育民族英才”是周老(为了表达对周长生老师的敬重,本文以“周老”称谓)仙逝时,四中党委给周老的挽联,概括了周老一生对于数学教育的贡献.

探析几何最值

几何(本文专指平面几何)最值通常有点点最值,点线最值和点圆最值.点点最值最基本的是两定点之间线段最短.通常是定动最值(即定点和动点之间线段的最值)以及动动最值(即两动点间线段的最值),但动动最值都是转化为定动最值的.点点最值的解题方法通常有3种:(1)确定动点的轨迹,由动点的轨迹最终归结为点线最值或点圆最值;(2)在变中求不变,由此求最值.其实几何最值就是在点的运动中,随着点的位置的变化,与之相应的量(如动点到定点的距离)随之变化,其中有唯一的一个不变量,就是它的最值;(3)转化为代数方法,利用二次函数、基本不等式等求之.

再看面积问题

本研究结合课标(2022年版)的要求,引导学生在一次函数背景下重新审视面积问题,将数学试题转化为教学素材,精心打磨和设计复习课.在拟定情境中,引导学生发现和提出问题,对知识及其方法进行了再认识.这种教学方法提高了学生的学习兴趣,培养了发现和提出问题的能力.

化繁为简“夯”回归 变单为联“觅”转化——对一道几何综合题的探究

一、问题提出在解决几何综合题时,学生常常忽视图形的生成过程,辅助线的添加是最困难的部分,而推理的表达则最容易出错.本文以一道几何综合题为例,旨在攻克这些难题,通过化繁为简,强化图形生成,渗透通性通法;通过变单为联,寻求方法转化,加强知识关联,帮助学生养成良好的反思习惯,感受从“感性认知”到“理性认识”的探究快乐,体会柳暗花明又一村的豁然开朗,经历从苦思不得其解到得来全不费功夫的畅淋漓,提升几何直观、空间观念、逻辑推理能力,以及应用和创新意识.

项目式学习的迷思:如何发掘合适的项目

项目式学习(Project-Based Learning,PBL)作为一种学习方式,近年来在基础教育领域获得了广泛的重视.项目式学习鼓励学生通过探索和解决真实世界的问题来学习,不仅能够提高学生的主动学习意识,还能够帮助学生发展关键的思维能力和解决问题的能力.《义务教育课程方案(2022年版)》提出设立跨学科主题学习活动,加强学科间相互关联,带动课程综合化实施,强化实践性要求.相应的《义务教育数学课程标准(2022年版)》(以下简称《课标》)明确提出在初中阶段的综合与实践领域,可以采用项目式学习的方式,设计情境真实、较为复杂的问题,引导学生综合运用数学学科和跨学科的知识与方法解决问题.

改进教学设计打造“双思”课堂——以“两个一次函数图象的位置关系”为例

在学习了人教版八年级下册19.2.2“一次函数”以后,一位老师又安排了一课时研究“两个一次函数图象的位置关系”,作为对“一次函数图象及其性质”内容的巩固提升.教学中通过大量的画图,让学生观察感受图象特征,配合反复练习进行消化吸收.然而,利用描点法画函数图象、观察图象特征等内容在以前都已经学过,整节课的大部分时间都在低水平重复已有的知识技能,对于提高学生数学学习能力意义不大.要改变这种状况,可以通过强化数学思想方法和优化数学思维品质两条路径,进行调整改进.

从特殊到一般的数学探索——2024北京中考填空压轴题

【试题呈现】2024北京中考16题:联欢会有A,B,C,D四个节目需要彩排,所有演员到场后节目彩排开始.一个节目彩排完毕,下一个节目彩排立即开始.每个节目的演员人数和彩排时长(单位:min)如下.

基于学生困境生成个性解法--以一道几何综合题的教学为例

几何综合题往往会呈现多个解题突破口,虽然最终殊途同归,但从不同的角度出发,在解题时会遇到不同的困难.教师及时分析学生在解题过程中遇到的困难,帮助学生疏通“思路堵点”,使其在已有基础上探索个性解法,有利于激发学生攻克难题的兴趣.现以一道武汉市调考题为例,探索基于学生困境的解题教学.

与“等顶点线段”有关的两线段和最小值问题求解策略

湖北省武汉市2021年中考数学试卷第16题(填空压轴题):题目如图1,在△ABC中,AB=AC,BAC=90°,边AB上的点D从顶点A出发,向顶点B运动;同时边BC上的点E从顶点B出发,向顶点C运动,D、E两点运动速度的大小相等.

基于深度学习路线的初中数学教学设计研究——以“正数与负数”为例

课标(2022年版)要求初中数学课堂由“基于知识、为了知识”转变为“基于知识、为了素养”深度学习是培养核心素养的重要途径,学生深度学习的达成,要求教师做好帮助学生实现深度学习的教学设计与实施。

取镜借光——跨学科项目式学习的思考与实践

什么是跨学科项目式学习?初中数学课程为什么要进行跨学科项目式学习?如何设计和实施跨学科项目式学习?本文拟从跨学科项目式学习的实践与反思两方面,结合轴对称主题的教学设计与实施,讨论上述问题一、跨学科项目式学习的实践1.项目分析.学生完成“取镜借光”的项目式学习,要将实际问题转化为平面几何问题,测算出平面镜摆放的位置和角度,所以涉及数学学科。

一道“不能解答”题的另解及其变式

向隽、何训光二位老师采用数形结合法,在《中小学数学》(初中版)2019年第9期给出了一道“不能解答”题的创新解法.认真研读,对两位老师的探究精神钦佩不已.下面笔者将介绍这道题的另解及其变式,以读者。

平移,化双动点为单动点

问题:如图1,在等腰△ABC中,AB=AC,BC=6,点P、Q分别是两腰AB、AC上的动点,且AP=CQ,求PQ的最小值.思路分析:此题线段PQ的两个端点都在运动,要直接求出线段PQ的最小值显然具有挑战性.这里给学生提供一种解决双动点最小值问题的一般思路,利用平移变换先将双动点的问题转化为单动点问题,再分析出单动点的运动轨迹.若轨迹为直线型,点到直线的垂线段长度就是最小距离。

关联数与式 渗透代数一般观念——幂的运算复习课教学与思考

笔者在教学中把数式一致性运用到“幂的运算复习课”教学,通过关联数与式,从数的角度重新梳理幂的运算,进而形成代数学习的方法体系,促进学生代数推理能力和运算能力的提升.1.教学分析.1.1单元视角下幂的运算的地位作用浙教版《数学》教科书中幂的运算安排在七年级下册第三章的“整式的乘除”中,总共5个课时,并且同底数幂的乘法是章起始课.从课时以及内容的编排顺序来看,足以表明幂的运算的重要性.进一步说,从知识联系上看,整式的运算,上承数的运算,下启分式、方程、不等式及函数的变换,而幂的运算法则又是整式乘除的基石.

循序渐进“巧设元” 逐层渗入“符号感”

什么是数学?数学就是符号加逻辑,符号性是数学学科的特质.德国数学家莱布尼兹曾说:“符号的巧妙和符号的艺术,是人们绝妙的助手,因为它们使思考工作得到了节约,在这里它以惊人的形式节省了思维.”课标中关于符号意识的重要论述之一为:体会符号的使用是数学表达和数学思考的重要形式.

问题链视域下的初中数学单元教学——以“一元一次不等式”教学设计为例

问题链“倡导通过主干问题驱动学生深入思考、建构知识,在解决问题的过程中积累学科活动经验并体验学科思考中的基本思维方法”,[1]因此,问题链是实施单元教学的有效途径之一.本文基于对单元教学分析,讨论问题链为什么能、怎么能促进单元教学开展等问题,以期为实施单元教学提供实践基础.

一道课本习题的探析及教学感悟

浙教版教材八下5.1矩形第2课时课后有一道习题,它以折叠为背景,融合矩形、直角三角形、相似三角形和方程等知识,解法多样,体现图形性质和图形变换(含轴对称和中心对称)的理解和综合运用.通过对问题的探析、变式、拓展以期发展学生的几何推理能力和运算能力.