一道梅西数学竞赛题(DMCC)

问题如图1,AF是ΔABC的高,AG是ΔACD的高,AH是ΔADE的高,垂足F,G,H分别在BC,CD,DE边上,并且BF∶FC∶AF=3∶5∶(3×5),CG∶GD∶AG=2∶7∶(2×7),DH∶HE∶AH=3∶8∶(3×8),求证:∠BAE=90°.解法1三角法用三角法最为直接(与其挖空心思想几何证明,不如选用三角法).

一道平面几何问题的求解与启示

2024年5月26日,微信群“9月10号”内张兴龙老师发布了一条平面几何问题征解的求助消息,引发了群成员间的热烈的讨论,不仅获得了该题的多种解法,还收获了关于数学教学和教育的启示,现整理成文供大家分享.

构造数学模型 巧解三角问题

在数学解题教学中,当寻找解题思路发生困难时,我们要引导学生充分挖掘题目中的隐含条件,展开联想,灵活运用知识间的内在联系把命题转化为一个等价的新命题这不仅有化繁为简、化难为易之作用,有时甚至能收到柳暗花明之奇效.本文从另一个角度出发,通过构造数学模型来解决有关三角问题,旨在培养学生观察、分析、联想以及创新能力,供读者参考.

双重最值问题的类型及求解策略

在各类考试中,类似于“min{max(f_(1),f_(2),…,f_(n))}”或“M=min{f_(1),f_(2),…,f_(n)},求M的最大值”等形式的命题,我们不妨称其为双重最值问题.命题常见有两种类型:一是f_(1),…,f_(n)表示一元函数式;二是f_(1),…,f_(n)表示多元函数式。解决这类问题的关键是观察、分析、联想,通过数形结合、转化化归、方程与不等式的思想方法,以挖掘内层与外层之间的联系为突破口,使问题获解。

由余弦定理引发的思考与拓展

众所周知,对于数学新知的学习,我们不仅要重视知识形成过程的学习,还要注重新旧知识之间的联系,只有善于联系和发散思维,才能使我们对数学知识的运用做到融会贯通例如,对数学公式或定理的学习,就要学会“三用”(即正用、逆用、变形应用),尤其是公式的变形应用,这不仅有助于培养学生的发散思维能力,也是引导学生提出问题、发现问题的重要途径.本文以余弦定理为例,谈谈其变形及拓展应用.

常用逻辑用语教学中不得不说的事

常用逻辑用语是数学语言的重要组成部分,是数学表达和交流的工具,是逻辑思维的基本语言.它是学生进入高中阶段后的起始内容之一,是引导学生会用数学眼光观察世界,会用数学思维思考世界,会用数学语言表达世界的最初尝试.本章内容对于学生而言,其意义至少有两个方面:一是真正较为严格地认识数学定义、定理,二是较为清晰地认识到数学解题的严谨性应该如何养成.

变式型零点和问题解法探究

在近几年的高考和具有一定导向作用的大型模拟考试中,零点和问题常作为热门考点出现.这类题型常以极值点偏移的情况出现,此时可采取构造对称函数的方法解决该类问题,但也会遇到非极值点偏移的变式型零点和问题,此时无法采取构造对称函数的方法解决该类问题。

用双换元或多换元法求解一类最值问题

一、基础问题,在有关不等式的练习题中,我们经常会遇上如下这样一类题.例1已知正实数α,y满足α+y=4,则1/x+1/y的最小值为__.分析处理这类题只需要配系数展开,利用基本不等式或者权方和不等式即可解决.

简单的好 不简单的也好

问题证明幂函数x^(n)(其中n为正整数)在正半轴(0,+∞)单调递增.网上有几个跟贴给出了证明:证法1由于(x^(n))'=nx^(n-1)>0,于是根据单调性判别法,x^(n)在(0,+∞)单调递增.证法2设x_(1),x_(2)∈(0,+∞),且x_(1)<x_(2),则由等幂差公式,有x_(2)^(n)-x_(1)^(n)=(x_(2)-x_(1))(x_(2)^(n-1)+x_(2)^(n-2)x_(1)+…+x_(1)^(n-1)).

赏析2024年北京大学强基计划数学试题

2024年北京大学强基计划数学试题整体难度较2023年要简单不少,但较高考试题的难度增加了很多.本文分类介绍今年试题及其详解,与大家共同赏析.

零次化思想在二元最值问题中的应用

二元最值问题是高中数学中常见的一类题型,其题型多变、解法灵活.常见的处理方法有函数法(转化为一元函数)和不等式法(基本不等式),到底选用哪一种方法需要我们在平时学习的过程中多加辨别,认清问题的本质,才能找到恰当的解题途径,从而快捷地解答问题.

一个三角函数结论在奥赛几何题中的应用

在高中生数学奥林匹克竞赛中,平面几何是很重要的一个板块内容.本文主要介绍非常有用的一个三角函数结论,以及如何用它来解决高中数学奥林匹克竞赛平面几何题中有关角度相等、点共线、线共点、线段垂直等问题.

巧解一道最值题

有老师在一个QQ群中提出了如下问题:题目已知实数x,y满足x^(2)+y^(2)=4,求M=3√5-2x+√13-6y的最小值.该题类似于加权将军饮马问题,求解有一定难度.数学解题重在根据问题特征适时转化,将问题回归我们熟悉的情境,本文给出该题的三个巧解.

几类新数列求和问题解法剖析

随着新高考命题的改革,新教材中数列章节呈现出系统性强、知识点多、难度跨度大的特点,数列题的命题形式也步入了一个新的阶段,其中数列求和的题型由对常规的等差、等比数列求和、分组求和、倒序求和、裂项求和与错位相减求和这六种基本求和方法的考查,回归到奇偶项求和、绝对值求和、取整求和、计数问题求和等一些非常规问题求和的综合考查.本文针对新教材中部分热门数列求和问题介绍如何利用分类思想进行研究,略举数例供读者参考.

赏析一道高三质检导数压轴题的多彩解法

本文从四个角度对一道高三质检压轴题进行解析.四种解法四重境界,无论是知识层面的应用,还是能力层面的考查,都有显著的差异,能较好地区分不同思维层次的学生分析问题与解决问题的能力.

两个有趣的高次方程问题

解Euler曾猜测4个五次方的和不是一个正整数的五次方.但该猜想在1966年被美国数学家利用计算机运算推翻,所举的反例就是①式右边的4个五次方,其和是一个正整数n的五次方.

用韦达定理破解一类双变量问题

导数中的双变量问题是高考的热点,常以压轴题形式出现,综合考查学生抽象推理与数学运算等核心素养.我们在平时做题时,应注意思考归纳一般题型的基本解决方法与策略.本文以一类双变量试题为例,展示借助于韦达定理消元处理,以期抛砖引玉.

别做难了

现在中、小学数学题(包括升学与竞赛)有越来越难的趋势,这不太好.难题,固然可以给难题爱好者带来兴奋,但对于大多数学生,可能会挫伤他们的信心.作为教师,应当帮助学生化难为易,更不要将不难的题算得很难,切不可以艰深文浅陋试看以下两例.

条件等式“a+b+c=ab+bc+ca”下的不等式问题

笔者在阅读专业数学杂志和学生培优材料时经常遇见条件为a+b+c=ab+bc+ca的不等式问题.为此,笔者对这类问题进行了研讨,现整理成文,与同仁分享。一、等式的简单性质性质.若a,b,c>0,且a+b+c=ab+bc+ca,则(1)a+b+c=ab+bc+ca≥3;(2)a+b+c≥3abc.

基本不等式的两个变式及其应用

在学校组织的一次周测练习中,出现了一道不等式试题,正确率非常低,这引起了笔者的注意.