A Generalization of Cramer’s Rule

In this paper, we find two formulas for the solutions of the following linear equation , where is a real matrix. This system has been well studied since the 1970s. It is known and simple proven that there is a solution for all if, and only if, the rows of A are linearly independent, and the minimum norm solution is given by the Moore-Penrose inverse formula, which is often denoted by;in this case, this solution is given by . Using this formula, Cramer’s Rule and Burgstahler’s Theorem (Theorem 2), we prove the following representation for this solution , where are the row vectors of the matrix A. To the best of our knowledge and looking in to many Linear Algebra books, there is not formula for this solution depending on determinants. Of course, this formula coincides with the one given by Cramer’s Rule when .

限定高度的Dyck路的计数

针对一类从(0,0)到(n,k)的限定高度的Dyck路的计数问题,应用递推关系得到发生函数满足的线性方程组,通过线性代数方法得到了相应的计数公式.

基于Cramer法则的区间灰数预测模型参数优化方法研究

以改善区间灰数预测模型的模拟及预测性能为目的,对区间灰数预测模型的参数优化方法进行研究,应用Cramer法则推导了核序列GM(1,1)模型通用形式的参数无偏估计新方法,从理论上证明了新方法对非齐次指数"核"序列的模拟无偏性,并在此基础上构建了一种新的区间灰数预测模型;通过与优化前的区间灰数预测模型模拟精度进行比较,结果表明新模型具有更为优秀的模拟及预测性能。此研究成果对丰富和完善灰色预测模型方法体系与拓展灰色模型应用范围,具有积极意义。

约束线性方程组Ax=b(x∈T)的唯一解的Cramer法则

本文研究了一般约束线性方程组唯一解的 Cramer 法则,并指出了一些特例。

克莱姆(Cramer)法则的几何表述与代数证明的简化

给出了线性方程组的几何直观解释,并利用十分简明的几何关系,给出了克莱姆法则的几何表述,即:系数矩阵为满秩方阵的线性方程组的各个解,是某些特定对应平行多面体之间的有向体积之比.利用行列式几何意义的一个通俗说明,直接导出了克莱姆法则的代数形式.抛开几何直观的解释和验证,借助于对方程组关系的直观洞察,可以简化克莱姆法则中关于方程组解的形式表达式的纯代数证明.目前,常见的2种克莱姆法则的证明,要么是借助于行列式关于其代数余子式的展开,要么是利用逆矩阵和伴随矩阵,而本文简化之后的证明,仅利用行列式的基本性质就可以了.

一类紧凑格式的约束矩阵方程解的Cramer法则(英文)

证明了一类约束矩阵方程 WAWXWBW = D, R(X) ? R[(AW)k1], N(X) ? N[(WB)k?2]有唯一解并给出其解的Cramer法则,其中A ∈ Cm , W ∈ Cn ×n ×m , Ind(AW) = k1, Ind(BW) =k?1, B ∈ Cp , W ∈ Cq , Ind(WA) = k2, Ind(WB) = k?2, and D ∈ Cn , R(D) ? ×pR[(WA)k2], N(D) ? N[(BW)k?1].

约束线性方程组通解的显式表示及Cramer法则

本文研究了一般的约束线性方程组Ax=b,x∈T, (1.1)其中A∈C^(m×n),b∈R(A),T为C^n中任意取定的子空间。给出了(1.1)有唯一解的充要条件;在有唯一解时,利用B-D逆(A~*A)_((T))^((-1))给出了唯一解的显式及cramer法则;在有解但解不唯一时,利用B-D逆(A~*A)_((?))^((-1))(这里(?)=R(R_TA~*))给出了(1.1)的通解的显式及Cramer法则。其结果改进并推广了文[2,3,4,5,6]中的有关结果。 另外,本文研究了A的T-约束M-P逆(AP_T)^+与A~*A的B-D逆(A~*A)_((?))^((-1))的关系,证明了下列事实:(AP_T)^+=(A~*A)_((?))^((-1))A~*,特别,当T∩N(A)={0}时,(AP_T)^+=(A~*A)_((?))^((-1))A~*。

一类基于克莱姆法则的避免求导的加权插值迭代算法

用n次插值多项式拟合需要求导的迭代算法,构造含有n+1个未知量的线性方程组,其中前n个未知量通过加权插值的形式,并用克莱姆法则由第n+1个未知量表示,从而避免求导.收敛性分析和数值实例进一步验证该迭代算法优于牛顿迭代,在运动机器人路径轨迹优化和非线性分数阶滑模时滞控制领域具有重要意义.

Cramer法则在数值计算中的若干应用

用Cramer法则给出了Lagrange插值公式和Newton插值公式的简洁证明,同时得到了Vandermonde矩阵的逆矩阵的LU分解.

Cramer法则的证明

行列式是代数学习和应用中重要的一个基本内容,而Cramer法则是行列式的压轴,该法则的原始证明要利用和逆用展开法则,复杂且难于理解.本文利用行列式的性质给出Cramer法则的简洁证明,并且根据教材的编排不同再给出了Cramer法则的另外两种证明方法.

任意域上解约束矩阵方程的Cramer法则(英文)

Fm×n表示域F上所有m×n矩阵的集合.R(A)和Nr(A)分别表示矩阵A∈Fm×n的列空间和核空间.若m=n,用Ind(A)定义矩阵A的指标.给出了求一类约束矩阵方程WAWXWBW=D,R(X)R((AW)k1),Nr(X)Nr((WB)k2)的唯一解的Cramer法则,其中A∈Fm×n,W∈Fn×m,B∈Fp×q,W∈Fq×p,D∈Fn×p,R(D)R((WA)k2),Nr(D)Nr((BWk1),k1=Ind(AW),k2=Ind(WA),k1=Ind(BW),k2=Ind(WB).这将[15-17]中的结果从复数域推广到任意域.

不相容约束矩阵方程逼近解的表示和Cramer法则

考虑不相容约束矩阵方程ＡＸＢ＝Ｄ，Ｒ（Ｘ）Ｔ，Ｎ（Ｘ）Ｓ其中Ａ∈Ｃｍ×ｎ，Ｂ∈Ｃｐ×ｑ，Ｄ∈Ｃｍ×ｑ，Ｔ，Ｓ分别为Ｃｎ，Ｃｐ的子空间，给出了它的逼近解、最佳逼近解的表示及Ｃｒａｍｅｒ法则．

约束矩阵方程解的一种紧凑形式的Cramer法则

本文给出了约束矩阵方程AXB=D,R(X)(∪)T,N(X)(∪)S～解的一种紧凑形式的Cramer法则,其中A∈Cm×n,B∈Cp×q,D∈Cm×q,T、S～分别是Cn、Cp的子空间.

Cramer法则在分式不等式证明中的应用

运用Cramer法则的工具,解决了一类分式不等式的证明问题,把数学知识进行高初的有机结合是对数学创新的一个重要目的.

一类奇异线性方程组的Cramer法则

在 [3]中 ,给出了一类奇异线性方程组Ax =b的唯一解x =Adb的Cramer法则。本文将其推广到带W 权Drazin逆Ad ,w,得到如下结果 :奇异线性方程组Ax =b的唯一解x =WAd,wWb的分量xj 可表示成xj=det (WA) (j→Wb) UV(j→ 0 ) 0 det WAUV 0 j=1,2 ,… ,n ,其中A∈Cm×n,W∈Cn×m,Ind(WA) =k1,Ind(AW ) =k2 ,rank(WA) k1=r <n ,U ,V ∈Cn× (n -r)n-r 的列分别构成N((WA) k1)和N((WA) k 1)的基底 ,b∈R((AW ) k2 ) ,Wb∈R((WA) k1)。

Cramer法则与Vandermonde行列式的应用

本文利用Cramer法则与Vandermonde行列式的结果，推导出了La－grange插值公式以及一些缺项的多项式的表达式。这是对Cramer法则及vander－monde行列式的一个很好的综合运用。

克拉默(Cramer)法则的推广及Matlab实现

在《线性代数》中,对于系数矩阵A是方阵的线性方程组Ax=b,当其有唯一解的时候,能利用克拉默法则求解。但当A不是矩阵,克拉默法则则无能为力。本文利用矩阵之间秩的关系,将克拉默法则进行推广,使其能求解任意有唯一解的线性方程组,并在Matlab中得以实现。

反特征值问题的最小二乘解的Cramer法则

利用拉直算子将反特征值问题最小二乘解化为线性方程组极小范数最小二乘解 。

约束线性方程组最优解的显式表示及Cramer法则

本文给出了不相容约束线性方程组Ａｘ＝ｂ，ｘ∈Ｔ的极小范数最小二乘解的显式表示及Ｃｒａｍｅｒ法则。

约束线性方程组唯一解的Cramer法则

A∈Cm×n,T为Cn 的子空间。本文给出了约束线性方程组Ax =b(x∈T)的唯一解的Cramer法则 ,同时也给出了一些相容或不相容线性方程组在一定意义下解的Cramer法则。