NEW SPECTRAL CHARACTERIZATIONS OF EXTREMAL HYPERSURFACES

Let M be a closed extremal hypersurface in S^n＋1 with the same mean curvature of the Willmore torus Wm,n-m.We proved that if Spec^p（M） = Spec^p（Wm,n-m ） for p = 0, 1, 2, then M is Wm,m.

超曲面Calabi几何的体积变分及稳定性

首先给出了参数化超曲面在Calabi法化下的几何结构。证明了一般参数化超曲面的Calabi几何均可局部描述为凸函数的图的典型Calabi几何,并证明Hessian流形可局部表示为凸函数的图的典型Calabi几何。对于参数化超曲面,建立了Calabi几何的体积第一变分公式和第二变分公式。作为推论,证明了2维Gauss曲率非正的极值Calabi曲面是稳定的,并且仿射面积泛函在这类曲面取得极大值。

Willmore超曲面与极值超曲面的谱特征

设M为单位球面S^(n+1)中的Willmore超曲面(或极值超曲面).该文证明了,若M与Willmore环面W_(m,n-m)(或Clifford环面C_(m,n-m))具有相同的第二基本形式模长,并且Spec^(p)(M)=Spec^(p)(W_(m,n-m))(或Spec^(p)(M)=Spec^(p)(C_(m,n-m))),其中p=0,1,2,则有M=W_(m,n-m)(或M=C_(m,m)).

R^(5)中具有平行Fubini-Pick形式的Calabi超曲面的分类

Fubini-Pick形式关于Blaschke-Berwald度量(或中心仿射度量)平行的局部强凸等仿射(或中心仿射)超曲面分类问题,在过去十年内已被完全解决.文献[20]对Fubini-Pick形式关于Calabi度量平行的2,3维Calabi超曲面进行了分类,该文将其推广到4维的情形.

一类相对极值超曲面及其Bernstein性质

在幺模仿射空间定义一个四阶偏微分方程,求出此方程的凸解,证明由此解函数所决定的局部严格凸超曲面的Bernstein性质.

仿射超曲面研究的近期进展

围绕作者专注的研究领域,本文介绍仿射超曲面理论近年来的一些重要研究进展.主要内容包括等仿射微分几何中的仿射极大超曲面研究、仿射Gauss-Kronecker曲率为常值的仿射超曲面的研究、具有平行Fubini-Pick形式仿射超曲面的研究以及中心仿射微分几何中的一些相应结果.最后,简要介绍与仿射极大曲面方程相关的一些4阶偏微分方程的Bernstein性质,以及关于环簇流形上极值Kähler度量存在性的Yau-Tian-Donaldson猜想的研究进展.

F-相对极值超曲面的Bernstein性质(英文)

设x:M→R^(n+1)是一个局部严格凸的超曲面,由定义在一个凸域Ω()R^n上的严格凸函数x_(n+1)=f(x_1,x_2,…,x_n)给出.设Y=(0,0,…,0,1)是超曲面的古典相对法,则相应的余法场U=(-(()f)/(()x_1),-(()f)/(()x_2),…,-(()f)/(()x_n),1).本文相对于余法向量场U^F=F(ρ)U又定义了一个相对法化,称之为M的F-相对法化,其中ρ=[det(f_(ij))]^(-1/(n+2)),并证明了F-相对极值超曲面的Bernstein性质.

相对极值超曲面的Bernstein问题

设x:M→A^(n+1)是一个局部严格凸超曲面,由ΩA^n上的凸函数x_(n+1)=f(x_1,x_2,…,x_n)定义.作者研究了由Δρ=λ(‖▽_ρ‖_G^2)/ρ所定义的相对极值超曲面解的问题,这里入是常值,△是局部严格凸超曲面上的关于Blaschke度量G的Laplacian算子.

一类相对极值超曲面的伯恩斯坦性质

作者讨论了相对极值超曲面方程△ρ+β(n-2)/2(‖▽ρ‖_G^2)/ρ=0的解f的情况,并证明了相对极值超曲面的一个伯恩斯坦性质,这里M={(x_1,…,x_n,f(x_1,…,x_n))|(x_1,…,x_n)∈Ω}是浸入R^(n+1)中的局部严格凸的超曲面,△为关于M上的Blaschke度量G的拉普拉斯算子.