一道课本习题的推广——兼谈Fibonacci倒数列

先从三种不同的视角来证明一道课本习题,然后结合Fibonacci倒数列的性质给出习题的推广,最后给出Fibonacci倒数列的一个恒等式与两个推论.

广义Fibonacci序列的Dedekind和

设{U_(n)}为广义Fibonacci序列,n为自然数,根据Dedekind和的定义和相关性质,研究了广义Fibonacci序列的Dedekind和S(U_(n),U_(n+1)),得到了和式∑^(m)_(n)=1S(U_(n),U_(n+1))的结果,其中m为正整数,推广了文[8]中的一个结果.

Fibonacci数列在递归与动态规划算法教学中的应用

递归与动态规划算法是算法设计与分析课程中培养学生计算思维、提高解决实际问题能力的两类主要算法。为了减小学生理解这两类抽象算法设计方法的难度,提高学习兴趣,文章讨论了将同一Fibonacci数列作为案例应用于它们的教学方案。基于该数列与这两个教学内容的内部联系,通过实施案例分析、讨论交流、设计求解、比较总结的方法进行教学。教学实践结果表明:学生不仅较容易地掌握了这两个算法设计方法的基本框架、本质区别及算法分析方法,而且提高了专业知识理解力及计算思维修养。

3阶广义Fibonacci和Lucas复数

将3阶广义Fibonacci和Lucas数的定义推广到3阶广义Fibonacci和Lucas复数,给出了3阶广义Fibonacci和Lucas复数之间的递推关系,研究了3阶广义Fibonacci和Lucas复数的生成函数和Binet型公式,同时,借助Binet型公式得到了Vajda,Catalan,Cassini以及d'Ocagne恒等式,这些恒等式的获得有助于研究广义Fibonacci和Lucas复数。

广义Fibonacci和Lucas四元数矩阵的行列式

借助递推关系研究了广义m阶Fibonacci和Lucas数,在经典行列式定义的基础上,利用排列组合以及逆序数理论,给出了广义m阶Fibonacci和Lucas四元数矩阵的行列式的定义,基于Binet型公式以及范德蒙行列式的性质,探讨了广义m阶Fibonacci和Lucas四元数矩阵的行列式的计算,特别地,当m=2,3,4时,给出了Fibonacci和Lucas四元数矩阵的行列式的具体值。

广义高斯Fibonacci和Lucas多项式及其恒等式

本文给出了广义高斯斐波那契多项式和广义高斯卢卡斯多项式的定义。我们研究了它们的一些的性质,通过它们的递推关系和性质及矩阵表示,我们也得到了它们之间的一些恒等式。此外,我们还证明了相应的卡西尼恒等式。

Lane-Emden型方程的广义Vieta-Fibonacci多项式迭代方法

基于广义Vieta-Fibonacci多项式的拟线性化矩阵配置方法,提出了一种求带有Dirichlet边界条件、Neumann边界条件和Neumann-Robin边界条件的一类Lane-Emden型微分方程的数值解的方法 .首先将Lane-Emden型方程拟线性化,然后利用广义Vieta-Fibonacci多项式展开得到矩阵形式,再用迭代方法进行求解.最后通过求不同边值条件下的Lane-Emden型方程的近似解,将数值结果与其他方法得到的近似解进行对比,验证了广义Vieta-Fibonacci多项式拟线性化迭代方法的有效性和准确性.

周期芽苞Fibonacci序列构造M-J混沌分形图谱的一族猜想

利用逃逸时间算法绘制M J混沌分形图谱 ,通过计算机数学实验找到Mandelbrot集的普适常数和相应充满Julia集的近似标度不变因子 ,定性说明了M J混沌分形图谱标度不变的特性 .同时 ,通过实验与数据分析发现Mandelbrot集周期芽苞的Fibonacci序列的拓扑不变性 ,找到M 集内的黄金分割点 .最后给出由Mandelbrot集参数平面上某个吸引周期芽苞中的参数与动力平面上相应Julia集图像结构之间的对应关系 ,并给出M J周期轨道的递归公式和多重结构特征图的猜想 .

Fibonacci变换及其在数字图像水印中的应用

基于Fibonacci变换具有均匀性的良好性质,在一种基于Fibonacci变换的数字图像置乱方法的基础上,给出了一种描述数字图像置乱程度的置乱度的定义,并比较了Arnold变换和Fibonacci变换的置乱效果。实验表明Fibonacci变换的置乱效果比Arnold变换的置乱效果要好。还考虑了Fibonacci变换在数字图像水印中的应用,并作了一些抗攻击实验,取得了令人满意的结果。

Fibonacci数奇数次方的积和式

利用第二类Chebyshev多项式的性质以及其与Fibonacci数的关系得到了关于Fibonacci数奇数次方的积和式.

一种基于混沌和Fibonacci伪随机数列的加密方法

利用Fibonacci数列本身的自相似性和Logistic映射在混沌状态下对初值的敏感性,以Logistic映射作为混沌模型,采用Fibonacci数列与混沌映射混合的方法产生混沌的伪随机数列.在取Fibonacci数列初始循环10万次,Logistic非线性差分方程系数3.8,进行1 000次迭代的条件下仿真.结果表明,这种方法提高了输出的混沌序列的随机特性,改进了有限精度的局限性,使混沌序列退化为周期序列的问题,使数列具有很好的随机性,使输出的伪随机数列的周期加大.利用该方法对数据进行加密,具有较高的稳定性和安全性.

Fibonacci数和Lucas数平方的积和式

利用第一、二类 Chebyshev多项式的性质得到了关于 Fibonacci数和

猫映射周期性与Fibonacci模数列周期性的内在联系

介绍了Fibonacci数列的模数列周期性定理,并推广至Fibonacci_Q变换矩阵的模周期。通过探讨Fibonacci_Q矩阵的周期与猫映射的周期的关系,揭示了猫映射的模周期与Fibonacci数列的模周期的内在联系;定义了矩阵变换的最佳周期概念,给出了猫映射的最佳周期性定理。通过图像置乱的仿真实验,验证了相关理论的正确性,从而为图像置乱提供了数学理论依据。

基于Fibonacci采样的数据预处理方法研究

提高神经网络(NN)的收敛速率和预测精度一直是人工智能领域的一个挑战性问题,尽管许多研究人员已在研究中使用小批量数据训练神经网络获得了较好的效果,但是这些方法并不够灵活.针对这个问题,该文提出了一种新的数据预处理算法即Fibonacci采样算法.根据Fibonacci数列规则绘制一个新的训练数据序列,这不仅可以恢复小批量数据的划分,而且还可以提供更灵活的批量规模的选择.实验结果表明:在梯度下降之前,Fibonacci数据划分序列能得到较好的实验结果.在应用于相同的单个CNN(5层卷积神经网络)和AlexNet中,Fibonacci采样算法比传统的小批量梯度下降算法能获得更高的准确度和更低的损失值,并且在几种通用网络(LeNet、AlexNet、VGG-16、GoogLeNet)上的性能也取得显著提升.

Fibonacci序列构造z^(-2)+c广义M-J混沌分形图谱及其标度不变性的研究

利用周期分类法绘制了z-2 +c的广义M J集分形图 ,分析了广义M集周期芽苞同分岔图的对应关系 ,发现其广义M集周期芽苞的Fibonacci序列的拓扑不变性 .通过大量计算机数学试验 ,发现了主轴上倍周期芽苞在超吸引点处的符号序列的排列规律 ,给出了构造广义M集任意倍周期芽苞字提升方程的一个算法 ,得到主轴上各倍周期芽苞的超吸引点 ,通过大量计算结果猜测M集倍周期芽苞存在一个普适常数 δ ,Julia集存在一个标度因子 α .

改进的Fibonacci双置乱图像加密算法

图像置乱是实现图像加密的重要手段之一,其最终目的是改变图像像素的位置关系或者灰度值信息,改变图像的统计信息,从而达到图像加密的目的。为提升图像置乱效果和置乱性能,从均匀分块的角度出发,提出了一种改进的Fibonacci双置乱图像加密算法。首先采用均匀分块算法对原图像进行分块,使每个分块图像内的所有像素充分扩散到其他各个图像块中,以有效地削弱图像相邻像素的相关性;然后对每个图像块利用Fibonacci算法做像素位置置乱,以解除图像块的空间相关性;最后对整幅图像采用Fibonacci算法做像素值置乱,解除图像的色彩相关性。实验结果表明,该算法从本质上降低了图像内部相邻像素的相关性,有较强的抵御裁剪和常见噪声攻击的能力,利用双密钥提高了加密系统的安全性。

二项式系数与Fibonacci数立方的一个关系

对于适合n≥i≥0的整数n和i,设(ni)=n!/(i!(n-i)!)是二项式系数;对于非负整数l,设F_l是第l个Fibonacci数,对于给定的非负整数k和正整数n,设f(k,3,n)是数列{(ni)}ni=0和{F^3_(k+i)}ni=0的卷积,即f(k,3,n)=(n0)F^3_k+(n1)F^3_(k+1)+…+(nn)F^3_(k+n).证明了当k≥n时,等式f(k,3,n)=1/5(2~nF_(3k+2n)-(-1)^(k+n)3F_(k-n))成立,当k<n时,等式f(k,3,n)=1/5(2~nF_(3k+2n)+3F_(n-k))成立.

基于螺旋相位变换和广义Fibonacci混沌的光学图像加密

为了解决光学加密技术中混沌序列分布不均匀,抗选择明文攻击能力弱以及菲涅尔域双随机相位编码系统对第1个衍射距离不敏感等问题,该文基于螺旋相位变换和新型广义Fibonacci混沌系统,提出一种光学图像加密算法。在菲涅尔域的双随机相位编码中对明文图像进行相位编码和螺旋相位变换,克服系统对第1块随机模板和衍射距离不敏感的缺陷,提高光学密钥敏感性。添加安全图像与明文进行加权干涉,进一步提高光学密钥敏感性和密钥维度。构造可产生均匀混沌序列的广义Fibonacci混沌系统生成随机模板,解决密钥体积过大分发传递困难问题,克服Logistic混沌分布不均匀的缺点,提高密钥传输效率及密钥敏感性。同时用明文哈希值SHA-256生成混沌初值和螺旋相位变换参数,使得密钥流随明文自适应变化,达到"一次一密"的效果,提高算法抵抗选择明文攻击能力和明文敏感性,雪崩效应更强。实验对比表明该算法明文及密钥敏感性高,密钥空间大,鲁棒性好,能有效抵御各种攻击,是一种高安全性的光学图像加密方法。

基于对称广义Fibonacci光子晶体结构的电光可调谐滤波器(英文)

本文构建了含有电光材料LiNbO3的一维对称广义Fibonacci光子晶体结构,提出并设计了一种基于该结构的可调谐滤波器,并利用传输矩阵法对设计的滤波器的可调谐滤波特性进行了理论研究.数据模拟结果表明:保持对称广义Fibonacci光子晶体的几何结构不变,通过改变电极所在处施加在电光介质(LiNbO3)层上的外加电场,即可实现滤波器的滤波通道波长的调节,滤波通道波长的改变与外加电压呈线性关系,随着外加电压的增加,滤波通道波长向短波长方向移动.此外,电压一定时,通道波长随光的入射角的增加向短波长方向移动;光的入射角一定时,外加正电压下,通道波长随电压增加发生蓝移,而外加负电压下,通道波长随反向电压的增加发生红移.最后,讨论了双电场作用下的多通道波长滤波器的结构极其特性.以上结果对于新型光子晶体器件的设计具有重要的参考价值.

基于Fibonacci置乱的小波域数字图像盲水印算法

针对数字图像的版权保护问题,提出一种基于Fibonacci置乱的小波域数字图像盲水印方案。将原图像中的感兴趣区域(ROI)作为水印来源,以此提高水印的隐蔽性。在水印嵌入过程中,将原图像进行分块,对每个块进行Fibonacci置乱和离散小波变换(DWT),选择出低频子带,用于水印嵌入。同时,对水印也执行DWT,选择出低频子带,通过Fibonacci置乱得到置乱矩阵,将水印的置乱矩阵嵌入到主图像的块中。在水印提取过程中,根据嵌入过程中设定的秘钥,通过逆Fibonacci置乱和逆DWT过程提取水印。在多种图像攻击下的仿真结果表明,该水印方案具有较高的安全性、鲁棒性和隐蔽性。