形式Peano算术的Gdel不完备性定理的一个简单证明

给出了形式Peano算术的G

心灵与机器的界线

心灵与机器的关系问题是心智哲学与认识科学的重要课题之一。遵循语言与逻辑分析的分析传统,我们着重从两方面讨论心身问题:一是围绕G del不完全性定理,二是认知逻辑尤其是有关认识论算术(EpistemologicalArithmetic)与机器是否有私有性的论题。对于前者,针对流行的观点即G del不完全性定理心身问题上支持二元论,H.Putnam构造了一个反论证,从而维护计算主义纲领:心灵与图灵机等价。对此,本文讨论了Putnam的分析思路,进而认为其中有不可靠之处。对于后者,本文详细考察了私有性表达的认知形式,同时结合EA中的最新相关结果,从而得出结论:图灵机的私有性的存在,在逻辑上站不出脚,因此,我们认为,就认识能力和私有性而言,心灵不能与机器等价,也就是计算主义纲领是不成立的。

论序数及连续统的可数性与正则公理

在前期一系列论文及著作中([2][4][5])对实数集(连续统)的可数性、康托对角线法等问题充分讨论的基础上,对序数的可数性问题进行分析,并由此引出对ZFC公理系统中的正则公理(基础公理,限制公理)的讨论。对与斯梅尔第18问题密切相关的哥德尔定理进行了分析,得到全新结论。提出实数的一进制表示法并在此基础上讨论康托对角线法的局限性问题。

哥德尔的辩证思维与不完全性定理证明

通过对哥德尔不完全性定理的证明语境和证明思维过程进行分析,可以从四个方面揭示出哥德尔思维方式的辩证性。这四个方面分别是:概念的相互隶属、问题的嬗变、系统与系统的同构转换以及悖论结构的转换和利用。

哥德尔不完全性定理和“心灵与机器”的关系问题

一些文献在阐述哥德尔不完全性定理的证明过程时,对一些技术细节没有做出明确说明,容易使人误解,因此需要对证明过程中ω一致性、系统外证明、元语句可表达性等作出强调。通过系统外证明的启示,分析了由哥德尔定理引起的有关心灵与机器(计算机)关系的争论,得出心灵优于所有目前原理计算机的论点。

通向哥德尔之路

哥德尔不完全性定理是思想史近乎必然的结果,而哥德尔在证明第一不完全性定理时构造的哥德尔句表达了一个可以实际诉说的简易陈述。首先,集合论悖论的存在表明,不受限制的概括公理模式是不一致的,而这足以得出不完全性定理的非构造性证明。其次,每个关于属于关系的集合论悖论都可以转化为关于满足关系的悖论,再通过满足到真的归约转化为语义悖论,这恰好是哥德尔句的形式:"对自身不可证"对自身不可证。

哥德尔不完全性定理的科学推理意义

哥德尔不完全性定理在科学推理,特别是在通过有限步骤的手段而达到对无限的认识和把握中,具有重要的方法论意义,它启示人们对前提条件进行考察时讲究改进情景,通过转换形式,从不同系统着手,探索真理。