Some Results on the Range-Restricted GMRES Method

In this paper we reconsider the range-restricted GMRES (RRGMRES) method for solving nonsymmetric linear systems. We first review an important result for the usual GMRES method. Then we give an example to show that the range-restricted GMRES method does not admit such a result. Finally, we give a modified result for the range-restricted GMRES method. We point out that the modified version can be used to show that the range-restricted GMRES method is also a regularization method for solving linear ill-posed problems.

MGMRES(m) :算法GMRES(m)的推广(英文)

求解大型稀疏线性方程组一般采用迭代法 ,其中算法GMRES是一个非常有效的算法 ,为了节省存储量及计算工作量 ,算法GMRES通常采用再开始技术 ,即GMRES(m) .但是在方程组的系数矩阵为非正实矩阵时 ,GMRES(m)算法可能会出现停滞 .为解决这一问题 ,通过改善投影空间的方法给出了GMRES(m)的一种推广算法 :算法MGMRES(m) .理论分析和数值实验表明MGMRES(m)较好地克服了GMRES(m)的缺陷 .

GMRES算法及其加速收敛现象分析

在对于求解大型非对称线性方程组方面,社会各界已经提出许多行之有效的迭代算法。然而目前由Saad和 Schultz提出的极小残量剩余(GMRES)方法是最为流行并且有效的方法之一。本文主要讨论GMRE(m)算法理论及其收敛现象分析。特别地叙述GMRES方法的收敛率和此斜投影过程中Ritz值对特征值的逼近程度之间的联系。这是分析GMRES的实际收敛行为的有效方法。

Krylov子空间E-变换GMRES(m)算法

针对GMRES(m)算法提出一种Krylov子空间E-变换GMRES(m)算法.利用单位矩阵E将GMRES(m)算法的方程组系数矩阵变换为对角矩阵,使求解问题大为简化.理论分析了算法的收敛性.通过数值实验分析,研究结果表明:在大型稀疏工程计算问题的求解中,E-变换GMRES(m)算法具有可行性、稳定性和可靠性,显著提高了GMRES(m)算法的计算精度和计算效率.

基于预条件处理GMRES的不精确牛顿法潮流计算

结合大规模电力系统修正方程组高维超稀疏性以及短向量的特点,提出以Krylov子空间方法研究电力系统方程计算问题。针对牛顿法潮流计算,采用预条件处理的GMRES方法求解高维稀疏的修正方程组,提出一种完整的基于预条件处理GMRES的不精确牛顿潮流算法,设计实现不同的预条件子,并以此为基础详细比较各类预条件子的预处理效果。通过对IEEE30、IEEE118和多个合成的大规模电力系统进行潮流计算,结果表明ILU预条件子比其他预条件子需要更少的迭代次数和浮点运算次数,当系统规模达到3000节点左右时,基于ILU预条件子的不精确牛顿法与传统的LU直接分解法相比,浮点运算次数减少了50%,内存使用量减少了将近10%,并且随着系统规模的增大,浮点运算次数基本上保持在LU直接法的50%左右,对大规模电力系统的潮流计算极为有利。

基于GMRES的改进连续潮流算法研究

阐述了一种基于GMRES的改进连续潮流算法,主要针对大型电力系统,在预测环节中采用拉格朗日非线性预测,减少了计算时间;在校正环节中将GMRES方法与牛顿法相结合构成内外双层迭代,并应用ILU分解对系数矩阵进行预处理,从而避免了对修正方程进行直接求解,提高了连续潮流法的计算速度。该算法根据梯度参数变化对步长进行了有效的控制,可以大大提高PV曲线的追踪效率。采用该算法对IEEE300节点测试系统进行仿真计算,取得了良好的计算结果,从而验证了该方法的有效性和快速性。

以对称反对称分裂预条件处理GMRES(m)的不精确牛顿法潮流计算

针对大规模电力系统修正方程式高度稀疏的特点,研究了一种基于对称反对称预处理的不精确牛顿法。利用矩阵的对称反对称分裂,提出一种新的预处理子,并将其与GMRES(m)算法相结合,改进潮流计算的收敛性和收敛速度。IEEE300节点系统的计算结果验证了所提算法的有效性。

基于Beowulf集群的大规模电力系统牛顿法潮流求解的并行GMRES方法

大规模电力系统牛顿法潮流计算中,修正方程组的系数矩阵具有高维、稀疏、非对称的特点,结合该特点,提出基于预条件GMRES的并行牛顿法潮流计算方法。其中,对块Jacobi预条件子矩阵而言,根据处理器数确定其分块数,依此设计出高效的准对角并行预条件子矩阵;通过对Jacobi矩阵更新过程的矢量化处理,结合并行稀疏矩阵向量运算技术,提出Jacobi矩阵更新的并行化计算方法。对7 680节点、12 000节点等多个大规模电力系统进行潮流计算,结果表明:随着系统规模的增大(达到3 000节点及以上时),本文提出的并行潮流计算方法比传统并行LU分解法在并行加速比、并行效率等方面有明显优势。

变电站关键设备工频电场计算的预条件处理GMRES(m)边界元法

在计算大尺度变电站关键设备工频电场时,传统方法效率低、性能差,计算困难。针对常规方法在大尺度工频电场计算中的瓶颈问题,提出了一种提高变电站关键设备三维电场分布计算效率的预条件GMRES(m)边界元法。阐述了预条件GMRES(m)迭代边界元法的基本原理及实现方法,并针对500kV变电站中部分关键设备周围电场分布进行了计算与比较分析。结果表明,预条件GMRES(m)边界元法经过预条件处理电位系数矩阵后,收敛速度快、残值收敛速度快、迭代次数少;在不降低计算精度的前提下,计算时间明显优越于直接迭代法;在满足工程误差和提高计算效率的同时,预条件GMRES(m)边界元法更适合于计算大尺度变电站关键设备的工频电场。

基于雅可比矩阵精确计算的GMRES隐式方法在间断Galerkin有限元中的应用

为改善高阶间断Galerkin有限元方法(DG)时间推进效率,在三维非结构网格下针对该方法建立了并行广义最小残差(Generalized Minimal Residual,GMRES)隐式时间迭代方法,GMRES方法基于科学计算工具包PETSc中的Krylov子空间求解器实现。为进一步提高GMRES的计算效率,发展了方程组右端项残值雅可比精确计算方法,针对无黏通量Roe格式和黏性通量BR2(Bassi Rebay 2)黏性计算方法,分别解析给出其对守恒变量多项式自由度的雅可比矩阵。基于建立的方法首先采用NACA0012翼型研究了GMRES的重启次数及收敛参数对方法收敛性影响,然后采用无黏及黏性算例对比研究了基于雅可比矩阵不同计算方法的GMRES计算效率,同时对比研究了雅可比矩阵完全近似求解下GMRES和LU-SGS(Lower Upper-Symmetric Gauss-Seidel)的计算效率。结果表明,建立的基于右端项残值雅可比矩阵精确求解的GMRES方法能够大幅提高不同精度DG方法的CFL(CourantFriedrichs-Lewy)数,相比前面提到的其它方法具有更高的计算效率,其收敛速度实现量级以上的提高。

基于辛Gauss方法及预处理GMRES方法的暂态稳定性并行计算

将s级2s阶的辛Gauss方法用于电力系统暂态稳定性计算,提出了一种新的并行计算方法。该算法首先将微分—代数方程组经多级差分后转化为大规模非线性方程组,并利用牛顿法对其进行求解。在此基础上,利用矩阵分解方法将整体计算任务分解为两部分:一部分计算任务可按相应的级数或在不同的时间点上进行'解耦',因而具有完全的时间并行性;对剩下的一部分计算任务,采用预处理GMRES方法对其进行空间并行求解,并为此提出了一种新的预处理方法。利用三个不同规模的算例系统,对所提算法的收敛性进行了测试,并在GPU上对算法进行了实际测试。测试结果表明,该算法可以获得很高的加速比,可以用于大规模电网暂态稳定性的实时分析计算。

预条件GMRES(m)算法在大型浮体水动力边界元分析中的应用

针对大型浮体水动力边界元分析产生的复系数线性方程组结构复杂,直接方法难以求解或者求解费时的问题,提出一种带有预条件技术的重启动型GMRES算法.选取2种不同的预条件处理技术对方程组系数矩阵进行预处理,通过具体算例给出2种预条件方法的数值比较.数值试验表明,对于大型浮体水动力边界元分析产生的复系数线性方程组,带有不完全LU分解预条件处理技术的GMRES(m)算法求解效率最高,优于直接解法.

大区域地下水模拟的预优并行GMRES(m)算法研究

大区域研究区由于涉及范围大、水文地质参数复杂多变,一直是进行地下水数值模拟的热点和难点。针对大区域地下水模拟的特点,在MPI环境中对Krylov子空间GMRES(m)算法的并行性进行分析,提出基于区域分解法的并行实现策略,并对不同的预条件子的加速效果进行比较。数值实验结果表明:并行GMRES(m)算法在求解大区域三维地下水模型时可以显著的加快求解速度,且具有较好的可扩展性。另外,Jacobi预条件子与GMRES算法的组合具有更优的加速比和执行效率,是一种求解大型化、复杂化地下水水流问题的可行方案。

基于二维非结构网格的GMRES隐式算法

将广义极小残差GMRES(Generalized Minimum RESidual)隐式算法应用到二维非结构网格上,并结合LU-SGS(Lower Upper-Symmetric Gauss-Seidel)方法对所求解方程组的残值向量进行预处理,发展了一套高效、可靠的二维Euler方程的求解器。NACA0012翼型和某四段翼型的2个算例,表明该隐式算法的计算效率要比传统的四步Runge-Kutta显式算法高出几十倍,与LU-SGS隐式算法的效率相比,该算法的效率高出近1个量级。应用了重启型的GMRES算法,并对2种构造系数Jacobian矩阵的方法进行了比较。

GMRES(m)算法在离散不适定问题中的应用

基于投影方法的规划算法——Krylov子空间技术,研究了离散不适定正则化和Krylov子空间广义极小残余算法(GMRES(m))的基本理论,特别是残余向量与Krylov子空间的关系。利用离散不适定正则化方法,将不适定问题转化为适定问题,利用广义极小残余算法对此适定问题进行数值求解。数值结果表明该算法是可靠和有效的。

GMRES解法在大型河网数值计算中的应用

将基于稀疏矩阵通用的按行存储方法的广义最小化残差算法应用于大型河网数值计算中,使大型河网的节点编号更具任意性,只需保证节点编号前后的一致性,而无需优化节点编码.实例计算结果表明,该算法精确、高效.

一种适于黑油模型并行的快速新解法——改进的GMRES算法

本文应用区域分解算法进行油藏模拟的并行计算研究,寻求可高效并行求解三维三相数值模拟问题的最优算法。在对流行的预处理共轭梯度算法及GMRES算法进行对比研究的基础上,提出了改进的GMRES算法,这种算法具有迭代参数不需优化、收敛快、可得到较精确解等优点。应用该解法对三维三相黑油模型软件进行并行化改造。通过模型及实际油藏计算,比软件原算法及GMRES算法的计算速度得到大幅度提高。并行效率较高,并行化后的模拟软件可以有效地解决大型整装构造油藏的数值模拟问题。

适合于求解边界元方程组的GMRES算法的实用化和并行化研究

为了将GMRES算法应用于大型边界元方程组的求解,采用预条件技术和重正交技术相结合的方法实现了该算法的实用化,然后在实用化的基础上针对迭代算法具有良好并行性的特点,研究了该算法在网络机群环境下的并行化技术。数值试验和分析表明所用的这些技术是行之有效的,对于提高求解速度和增大求解问题的规模是有意义的。

GMRES算法在二维定常无粘流计算中的应用

发展了GMRES算法的两种不同预处理方法求解二维无粘流体动力学方程组。在保证计算效率的基础上 ,采用了一种减小内存需求的途径。用两个算例对GMRES算法以及两种不同的预处理方法进行分析 ,同时与DDADI方法进行比较。通过对NACA0 0 12有攻角超临界流动以及GAMM通道超音流的计算 ,表明两种预处理下的GMRES算法都具有收敛速度快的优点 ,LUS GS预处理方法略优于ILU预处理方法。

图像恢复的正则化Gmres方法

在处理具有线性的、空间位移不变的成像系统所成的图像恢复问题时,提出了一种基于Krylov向量完全正交化的正则化Gmres方法。该算法考虑了图像恢复中的不适定性及计算时的复杂性两个方面,将正则化算法与广义极小残余算法相结合,通过正则化方法将模型离散后的积分方程转化为一适定问题,然后利用广义极小残余算法得到结果。在数值模拟时,对不同的方法进行了对比分析,结果表明所选的方法能够明显改善图像恢复的质量。