Legendre符号及Gauss二次互反律的证明

介绍了Legendre符号的应用,给出了初等数论中Gauss二次互反律的一个证明,证明中的个别地方在常见文献中不曾见过,并将Legendre符号与Jacobi符号在计算上给予了比较和总结。

由反对称化操作探究Levi-Civita与Kronecker符号的性质

从度规张量的行列式出发,应用通过反对称化Kronecker符号与逆变Levi-Civita张量的乘积所得到的恒等式,证明了Levi-Civita符号(张量)的一个重要性质,即:两个Levi-Civita符号(张量)的部分或全部指标缩并后可由(推广的)Kronecker delta符号表示。并在此基础上,导出了两个重要推论,且借助行列式与矩阵的性质给出二者的又一证明。与此同时,给出了推广的Kronecker delta符号的若干重要性质。

关于连续素数上取值的Legendre符号和的估计

利用Karatsuba的方法,研究了关于连续素数上取值的Legendre符号和∑p≤N(p q)的估计问题,得到了当q0.75+ω<N<q时非显然估计的结果.

椭圆曲线y^(2)=(x-2)(x^(2)+2x+m)的整数点

设p是满足p≡5(mod12)的奇素数,q=p-3/2为奇素数或1,m为正整数且m=3p-8。运用初等数论的方法及四次丢番图方程的相关结果,给出了椭圆曲线y^(2)=(x-2)(x^(2)+2x+m)的所有整数点(x,y)。

常用亲缘关系指数的通用计算公式

目的推导常用亲缘关系指数的通用计算公式。方法通过引入克罗内克符号,将不同基因型组合下同一亲缘关系指数的计算公式归纳为统一表达式。结果成功推导出多种鉴定情形下亲缘关系指数的通用公式,包括单方生母不参与或参与时两个体间的亲权指数、全同胞关系指数、半同胞关系指数、叔侄关系指数、祖孙关系指数、一级堂表亲关系指数和二级堂表亲关系指数,生母不参与或参与时祖父母与孩子间的祖孙关系指数,双方生母均参与时两孩子间的半同胞关系指数,三孩子间的全同胞关系指数,以及生母不参与、单方生母参与或双方生母均参与时三孩子间的半同胞关系指数。结论本研究给出的通用公式简化了亲缘关系指数的计算,便于通过编程实现快速准确计算。

椭圆曲线y^(2)=7qx(x^(2)-2)的正整数点

利用同余的性质、Legendre符号的性质等初等方法,证明了:若q=pΠ_(i=1)^(n)q_(i),p≡±3,±19,±27(mod56)为奇素数,q_(i)≡±3(mod8)为互异的奇素数,则椭圆曲线y2=7qx(x^(2)-2)除整数点(x,y)=(0,0)外至多有2个正整数点。

关于商高数的Jesmanowicz猜想

本研究主要利用简单同余、二次剩余、κ次剩余、四次剩余特征理论及因式分解法,对关于不定方程a^(x)+b^(y)=c^(z)的Jesmanowicz猜想的一类特殊情形进行证明,并得到如下结论:定理对于商高数组a=n^(2)-4,b=4n,c=n^(2)+4,2×n,当n+2含有素因子p■-1(mod 16)时,Jesmanowicz猜想成立.特别地,有推论对于上述商高数组,当n■-1(mod 16)时,Jesmanowicz猜想成立.

关于指数丢番图方程((mk_(1)+m_(1))^(n)-1)((mk_(2)+m_(2))^(n)-1)=x^(2)的求解

运用同余、二次剩余、勒让德符号、雅可比符号的性质、其他已知结论以及初等数论方法,研究了一类与平方数有关的指数丢番图方程的可解性问题.通过将方程的参数限定在一定的数量关系下,给出了方程在特定条件下不存在正整数解的三个充分条件,进一步推广了前人的研究成果,同时可为解决此类与平方数有关的指数丢番图方程提供了一定思路和方法.

椭圆曲线y^(2)=7nx(x^(2)+32)的正整数点

n为素数时关于椭圆曲线y^(2)=7nx(x^(2)+32)的整数点问题至今仍未解决。本文主要利用四次Diophantine方程的已知结果,运用Legendre符号的性质、奇偶数的性质、同余的性质、唯一分解定理等初等方法,证明了n≡5(mod 8)为奇素数时椭圆曲线y^(2)=7nx(x^(2)+32)至多有1个正整数点。

不定方程■的正整数解

设k,l,m_(1),m_(2)是正整数,p,q为奇素数且满足pk=2m1-3m2,q^(l)=2^(m1)+3^(m2).证明了若2■m_(1),m_(2)≡2(mod 4),z≡0(mod 2),则对任意正整数n>1,丢番图方程■仅有正整数解(x,y,z)=(2,2,2),从而得到Jesmanowicz猜想在该情形下的正确性.

椭圆曲线y^2=(x+2)(x^2—2x+p)的整数点

利用Legendre符号、同余式、Pell方程的解的性质等初等方法证明了:当p=36s^2-5(s∈Z+,2s),而6s^2-1,12s^2+1均为素数时,椭圆曲线y^2=(x+2)(x^2-2x+p)仅有整数点为(x,y)=(-2,0).

关于不定方程x^3-1=73qy^2的整数解

设D=∏si=1pi(s≥2),pi≡1(mod 6)(1≤i≤s)为不同的奇素数.关于不定方程x3-1=Dy2的初等解法至今仍未解决.利用同余式、二次剩余、递归序列、Pell方程的解的性质,证明了q≡1,19(mod 24)为奇素数,(q/73)=-1时,不定方程x3-1=73qy2仅有整数解(x,y)=(1,0).

关于指数丢番图方程a^(2x)+(3a^2-1)~y=(4a^2-1)~z(英文)

设a>3是一个整数,应用Bilu,Hanrot和Voutier关于本原素除子的深刻理论以及二次数域类数的一些结果,证明了指数丢番图方程a^(2x)+(3a^2-1)~y=(4a^2-1)~z仅有正整数解x=y=1.

关于丢番图方程x^3±1=pD_1y^2

设D1是无平方因子的正整数,p≡1(mod 6)为素数,运用Pell方程px2-3y2=1的最小解、同余式、平方剩余、勒让德符号的性质等初等方法,证明了:当D1是不能被3或6k+1型的素数整除的正整数、p=3n(n+1)+1时,丢番图方程x3±1=pD1y2无正整数解.

关于Pell方程qx^2-(qn±6)y^2=±1(q是素数)

运用Legendre符号和同余的性质给出了形如qx2-(qn±6)y2=±1(q是素数)型Pell方程无正整数解的4个结论.这些结论对研究狭义Pell方程x2-Dy2=±1(D是非平方的正整数)起了重要作用.

Diophantine方程p^x+q^y=z^2（英文）

设p和q是两个奇素数,且p<q.B.Sroysang证明了如果(p,q)=(7,19)或(7,31),则方程px+qy=z2没有正整数解(x,y,z).为了研究这个问题,运用初等方法和指数Diophantine方程的一些性质,证明了一个一般结果,即如果p+q≡2(mod4)和(q|p)=-1,则方程有唯一的正整数解(p,q,x,y,z)=(3,11,5,4,122),其中(q|p)表示Legendre符号.

关于指数丢番图方程x^2+(3a^2+1)~m=(4a^2+1)~n(英文)

应用Bilu,Hanrot和Voutier关于本原素因子的深刻理论及二次丢番图方程解的表示等方面的精细结果,完全解决了指数丢番图方程x2+(3a2+1)m=(4a2+1)n在3a2+1为奇素数或奇素数幂时的求解问题.

关于Diophantine方程x^3+1=3py^2

设p是奇素数,研究丢番图方程x3+1=3py2正整数解的情况.利用初等数论的方法得到了丢番图方程x3+1=3py2无正整数解的若干充分条件.

关于丢番图方程x^3±5~3=3py^2

设p为奇素数,运用同余式、平方剩余、乐让德符号的性质等初等方法得出了丢番图方程x3±53=3py2无正整数解的两个充分条件.

关于Diophantine方程x^3±1=Dy^2

利用数论中的同余,勒让德符号的性质及其它一些方法,研究丢番图方程x3±1=Dy2(D=D1p,D是无平方因子的正整数,其中D1是不能被3或6k+1之形的素数整除的正整数,p是奇素数,p=3(24r+19)(24r+20)+1,r是正整数)的解的情况.证明了当D1≡7(mod12)时,方程x3+1=Dy2无正整数解;当D1≡5,14,17,23(mod24)时,方程x3-1=Dy2无正整数解.推进了该类三次丢番图方程的研究.