关于Nicol数的两个问题

对于正整数n,设φ(n)和σ(n)分别是n的Euler数和约数之和,当n︱φ(n)+σ(n)时,n称为Nicol数.运用初等方法讨论了Nicol数的存在性,设a=p1α1p2α2…prαr,其中r是大于1的正整数,pi(i=1,2,…,r)是不同的奇素数,αi(i=1,2,…,r)是正奇数,证明了如果n=a或2a,则n不是Nicol数.

4个不同素因子Nicol数的几个结论

研究了具有4个不同素因子Nicol数,得到了3-Nicol数可能存在的四种形式;并且证明了4-Nicol数只可能为n=2^(α1)3^(α2)5^(α3)p^(α4),P≥7为素数。

具有5个不同素因子的Nicol数数数

通过计算机辅助,利用元素的阶、欧拉函数、因子和函数等数论函数的性质,继续研究了具有5个不同素因子的Nicol数,证明了具有5个不同素因子的Nicol数只能是3-Nicol数和4-Nicol数.

4个不同素因子时的Nicol问题

主要讨论了4个不同素因子的Nicol数,得到了如下结果:(1)4个不同素因子的Nicol数只可能是3-Nicol数或4-Nicol数,同时也证明了Nicol猜想在4个不同素因子情况下是正确的;(2)4个不同素因子的4-Nicol数只能是2α1.3α2.5α3.pα4,p≥7为素数;(3)4个不同素因子的3-Nicol数只能是下列形式之一:n=2α1.7α2.11α3.pα4或n=2α1.7α2.13α3.pα4或n=2α1.5α2.pα3.qα4,p≤41,p<q或n=2α1.3α2.pα3.qα4,p,q为素数且5≤p<q。