从“以率消息”看刘徽圆周率的产生过程

《九章算术》圆田术刘徽注中记载了刘徽割圆术中求圆周率的方法。其中刘徽用"以率消息"的方法求得圆周率π=3927/1250的过程,争议颇多。三上义夫、沈康身、李继闵、郭书春等各家的说法不一。文章重新从《九章算术》原文考察并复原了刘徽求得圆周率π=3927/1250的过程,分析了各家说法不一的原因,讨论了"以率消息"的数学原理;认为π=3927/1250的产生过程,是数学原理加上非理性因素双重作用的结果,给了"以率消息"这个问题一个新的解释。

圆面积公式与圆周率究竟是怎样推求的

数学史上关于圆的度量和圆周率的推算，是中小学数学教学中十分有价值的史料．但对这一数学史实的认识有许多模糊的地方，运用与中学数学教学有关的例证澄清这一数学史实，给数学教学以重要启示：关于圆周率的教育价值应得到充分挖掘和客观体现．

关于刘徽的割圆术

分析了刘徽割圆术的思想和算法，指出其创造性和局限性，给刘徽割圆术以恰当的历史地位。

对一个重要极限证明中使用循环论证问题的质疑

有的著作认为在极限公式limx→0sinxx=1的证明中,要用到圆(扇形)的面积公式S=21Lr,而对后者的证明中必须要用到重要极限limx→0sinxx=1,从而犯了循环论证的错误。魏晋刘徽的“割圆术”是对无限问题的独特认识和致用的处理方式,是为证明圆面积公式而设计出来的一种方法。刘徽之前,希腊的阿基米德用穷竭法也证明了圆的面积公式。其中,刘徽的证法强调计算的程序性和构造性,而阿基米德则倾向于演绎的严谨性。这两种证明说明limx→0sinxx=1证明所谓的循环论证是可以避免的。

割圆术近析

本文对我国刘徽、日本关孝和及希腊海伦三位古代数学家在圆周率研究中的三种典型的割圆术作了分析比较.尤其是刘徽注中所说的“消息”一词作出了一种新的解释.对刘徽、关孝和的思想所定义的圆周长,以现代分析所常用的圆周长的定义为基础(即与海伦类似的方法)作了严格的证明.并对刘徽和关孝和的公式作了精度估计.文中指出了刘徽和关孝和的割圆术中提高精度的做法已具有本世纪初才提出的外推极限法思想.