关于不定方程x^(d(n))+y^(ϕ(n))=z^(σ(n))

设n是正整数,证明了不定方程x^(d(n))+y^(ϕ(n))=z^(σ(n))在一定条件下无正整数解,这里d(n),ϕ(n)和σ(n)分别表示n的约数函数、欧拉函数及约数和函数。同时给出了n=3时,该方程的全部正整数解。

关于立方幂补数除数和函数的性质

设n是正整数,S(n)是n的立方幂补数,σ(n)表示n的除数和函数.探讨了∑n≤xσ(S(n))3n的渐近性质,用解析方法得到了一个渐近公式,进一步解决了F.Smarandache教授提出的第28个问题,补充了相关文献的结论.

关于同余式nσ(n)≡2(modφ(n))

对于正整数ｎ，设σ（ｎ）、φ（ｎ）分别是ｎ的约数和函数和Ｅｕｌｅｒ函数．复合数ｎ满足同余式ｎσ（ｎ）≡２（ｍｏｄφ（ｎ）），当且仅当ｎ＝４，６或２２．

关于整除性n｜φ(n)+σ(n)

本文证明了：ｉ）当合数ｎ至多只有两个不同的素因子时，ｎφ（ｎ）＋σ（ｎ）；ｉ）若奇合数ｎ满足ｎ｜φ（ｎ）＋σ（ｎ），则ｎ至少有６个不同的素因子，且ｎ≥６５１５５１１５０２５；ｉｉ）在区间［１０７，２·１０７］中有且仅有一个ｎ，即ｎ＝１２５５８９１２，满足ｎ｜φ（ｎ）＋σ（ｎ）．

关于特殊序列上的多维除数函数的和

本文研究了多维除数函数d_k(n)在特殊序列[n^c]上的分布。利用指数和方法中一些新成果,证明了:当实数c满足1<c<(495)/(433)时,文中定义的函数A(x)=∑_n≤_xd_k([n^c])具有渐近公式。

平方补数与除数和函数的混合均值

考虑平方补数S2(n)与除数和函数σ-1(n)的混合均值,用解析方法得到了∑n≤xσ-1(S2(n))n的渐近公式,所得结果补充了有关文献的结论.

Smarandache kn数列与除数和函数的混合均值

对任意整数1≤k≤9,如果数列{a(k,n)}中的每一个数都可以分成两部分,使得第二部分是第一部分的k倍,则该数列称作Smarandache kn数字数列.利用初等及组合方法研究Smaran-dache kn数字数列及除数和函数的混合均值性质,并给出一个有趣的渐近公式.

关于数论函数σ(φ(n))的下界

对于正整数n,设σ(n)、(?)(n)分别是n的约数和函数和Euler函数.本文证明了:当n是幂数 时,必有σ((?)(n))>6n/π2.

关于F.Smarandache简单函数与Dirichlet除数和函数的混合均值

利用解析方法研究了F.Smarandache简单函数与Dirichlet除数和函数的混合均值,得出了两个较为精确的渐近公式.

两个有关伪Smarandache函数的方程

对于正整数n,设Z(n)、f(n)、g(n)分别是n的伪Smarandache函数、约数和函数、除数函数.本文解决了方程Z(n)=f(n)和Z(n)=g(n)的求解问题.

关于Diophantine方程x^(d(n))+y^(φ(n))=z^(σ(n))

对于正整数n=2tpa11pa22…pakk,这里pi是奇素数,mi是正整数,i=1,2,…,k,2<p1<p2<…<pk,t是非负整数.设d(n),φ(n),σ(n)分别表示n的约数函数,Eu ler函数和约数和函数.给出了:n=2和3时,方程xd(n)+yφ(n)=zσ(n)正整数解的一般公式;并证明了ai(i=1,2,…,k)中至少有两个为奇数或存在i及奇素数p,使pi≡1(modp)且ai≡-1(modp)两种情形时,方程xd(n)+yφ(n)=zσ(n)没有正整数解.

关于Diophantione方程x^(d(n))+y^(φ(n))=z^(σ(n))的本原解

对于正整数n,设d(n),φ(n),σ(n)分别是n的约数函数、Euler函数和约数和函数.本文证明了:当n无平方因子时,除了n=2或者n是适合n≡3(mod 4)的奇素数这两种情况以外,方程xd(n)+yφ(n)=zσ(n)没有正整数解.

除数和函数对平方补数的均值

对于任意正整数n的平方补数c(n),研究了其除数和函数σ(c(n))均值的渐近性,并利用解析方法得到了一个渐近公式。

关于数论函数方程σ(x^3)=y^2

对于正整数n,设σ(n)是n的所有约数之和.运用Pell方程和高次Diophantine方程的性质,证明了方程σ(x3)=y2没有正整数解(x,y)适合x=2pr,其中p是奇素数,r是正整数.

关于方程(n) +σ(n)=3n的一个注记

证明了：对１≤ｓ＜ｒ－ ２，如果 ｑ＝ ７· ２（ｒ－２）＋２ｓ－１与ｐ＝ ４９· ２－５·２（ｒ－ｓ－２）－１均为素数，则为方程的解．通过在微机上的探索，对４≤ｒ≤５００，找到了方程的３３组解．

关于数论函数方程σ(x^3)=y^2的一点注记

对于正整数a,设σ(a)是a的所有约数之和.设p是奇素数,r和s是正整数.文中证明了当x=2rps时,若方程σ(x^3)=y^2满足下列条件之一:(ⅰ)2■r,p≡1(mod 6);(ⅱ)2■r,p≡5(mod 6),2|s;(ⅲ)2■rs,p是Fermat数,则σ(x^3)=y^2没有正整数解(x,y).

关于两个数论函数的一个整除式

证明了对于正整数n,当2n且n≠2αpq(α∈N),ω(n)=3时,σ(n)=kφ(n)(k∈N且k≤4)无正整数解,其中p,q为不同的奇素数.

关于σ(n)和φ(n)的一个整除式

设φ(n)表示n的欧拉函数,σ(n)表示n的所有正因子和,ω(n)表示n的不同素因子的个数.对于整除关系φ(n)|σ(n),其中n是正整数,当n为素数时只对n=2,3成立.讨论了当n至多有3个不同的素因子时,n为哪些合数时才能使该整除式成立,其中解2α(2α+2-1)(其中2α+2-1为素数,α∈N)与偶完全数2n-1(2n-1)(其中2n-1为素数且n∈N)类似.

一类数论函数均值的误差项

设n为任意的正整数 ,σ(n)为n的除数和函数 ,E(x)表示和式 ∑n≤xσ(n)n 渐近公式中的误差项。研究了E(x)的性质 ,给出 ∑n≤xE(n)和∫x1E(t)

一个关于广义完全数的数论函数方程

本文运用初等方法,讨论了一个含有约数函数、约数和函数与Euler函数的数论函数方程,给出了该方程的全部偶数解,并且解决了一个有关广义完全数的问题.