科学与艺术的结晶《Mandelbrot-Julia混沌分形图谱》——五大宇宙定律与时空谱

提出了一种具有Mandelbrot Julia混沌分形图谱的曼德布罗特(Mandelbrot)混沌分形时空观,对经典的逃逸时间算法加以改进,提出了旋转逃逸时间算法,构造了一系列由复映射变换f1(z)=zm+c(m≥2,m∈N)和f3(z)=zω+c(ω=α+iβ)所确定的广义Mandelbrot集(简称M 集或M 分形图)及其对应的Julia集(简称J 集或J 分形图),提供了对其深入研究的新现象、新图形和新规律:"图中嵌图、形中镶形、拉压与折叠、统计自相似、无限周期有稠性、混沌分形有新序"·算法利用面向WEB的JavaApplet技术实现,提供了一种基于Internet的分布式混沌分形理论研究机制·

复映射z←z^w+c(w∈C)的广义Mandelbrot和Julia组合集

基于开关复映射 ,阐述了广义Mandelbrot和Julia组合集 (简称广义M和J组合集 )的构造方法 ,并构造出一系列复映射z←zw+c(w∈C)的广义M和J组合集·通过分析广义M集和J集的构造算法 ,阐述了广义M集和J集的结构特点·在此基础上描述了广义M和J组合集的结构特征 ,并给出了广义M和J组合集的裂变原因·

3-DJulia集和Mandelbrot集的生成模型

借助于复变函数理论，平面分形图得到了广泛的研究，借助于四维空间中的四无数，有了一些作为３一Ｄ子空间截面集的Ｊｕｌｉａ集，但有很大的局限性。本文提出生成分形图函数的参数化模型，研究了３一Ｄ分形图的生成方法，揭示了这样生成的３一Ｄ分形图与平面分形图的联系，讨论了直接在三维空间中生成的３一ＤＭａｎｄｅｌｂｒｏｔ集的性质，同时也指出这种方法有更广泛的适用范围。

广义Mandelbrot和Julia组合集

1引言复映射f:Z←zα+c(α=2)对不同的c值(c∈C),经过迭代能生成各种形状奇特的分形,这些集合被称为Julia集.而如果根据不同的c值对应的Julia集的连通性对参数c进行分类.还可在参数空间做出称为Mandelbort集的c的点集[1].

三维Mandelbrot图形生成算法

探讨了Mandelbrot集的分形特征,阐述了基于三维连续位势法生成三维Man-delbrot集图形的算法,并将之推广到广义的Mandelbrot集上.使用此算法绘制出了三维的Mandelbrot集和Julia集分形图形,对绘制三维分形图作出了有益的尝试.

THE BOUNDS OF THE GENERAL M AND J SETS AND THE ESTIMATIONS FOR THE HAUSDORFF'S DIMENSION OF THE GENERAL J SET

The bounds of the general M and J sets were analytically offered. Some of, the bounds were optimal in certain meaning. It not only solved the primary problem of the construction of fractal sets by escape time algorithm, and followed from the conclusion, but also offered two estimations of some special Julia set's Hausdorff's dimension by approximate linearization method.

Fibonacci序列构造z^(-2)+c广义M-J混沌分形图谱及其标度不变性的研究

利用周期分类法绘制了z-2 +c的广义M J集分形图 ,分析了广义M集周期芽苞同分岔图的对应关系 ,发现其广义M集周期芽苞的Fibonacci序列的拓扑不变性 .通过大量计算机数学试验 ,发现了主轴上倍周期芽苞在超吸引点处的符号序列的排列规律 ,给出了构造广义M集任意倍周期芽苞字提升方程的一个算法 ,得到主轴上各倍周期芽苞的超吸引点 ,通过大量计算结果猜测M集倍周期芽苞存在一个普适常数 δ ,Julia集存在一个标度因子 α .

负幂次映射族广义M集的周期芽苞分布

利用吸引周期轨道存在与否为判断特征 ,给出了z-2 +c的广义M集的定义和其计算机构造方法· 同以往研究结果相比 ,用该定义构造的广义M集较好地反映了复映射族z-2 +c的动力学性质· 对不同构造方法所导致不同结果的原因进行了理论分析 ,同时给出了其周期芽苞的分类方法、数量计算公式和其占优周期芽苞分布的Fibonacci规律· 周期芽苞的分类方法为Julia集的研究提供了基础 ,周期芽苞数量计算公式和Fibonacci规律给出了z-2 +c的广义M集的轮廓· 其中Fi

含参有理函数族M集的拓扑不变特性

利用Ｎｅｗｔｏｎ 法对应的有理函数族给出一系列新的广义Ｍａｎｄｅｌｂｒｏｔ 集和Ｊｕｌｉａ 集，通过计算机研究了它们与典型Ｍａｎｄｅｌｂｒｏｔ 集和Ｊｕｌｉａ 集之间的关系，并对Ｍａｎｄｅｌｂｒｏｔ 集与Ｊｕｌｉａ 集之间的关系进行了分析，解析分析了广义Ｍａｎｄｅｌｂｒｏｔ 集的有界性、芽苞周期和不同周期芽苞个数，为Ｍａｎｄｅｌｂｒｏｔ 集和Ｊｕｌｉａ 集的发展提供了新的思路·

广义M-J集的界与J-集Hausdorff维数的估计

解析地给出了广义M_J集的界 ,其中某些界在某种意义上是最佳的· 解决了应用逃逸时间等算法计算机构造其混沌分形图的首要问题 。

二维滞后logistic映射的混沌行为、控制和混沌同步

利用分岔图、Lyapunov指数、相图等方法研究了二维滞后logistic映射通向混沌的道路,应用逃逸时间算法构造二维滞后logistic映射的彩色广义M-J集,分析了广义M-J集的对称性问题.以此为基础,基于离散系统稳定性理论和Pecora-Carroll混沌同步定理,设计非线性反馈控制器,分别实现了二维滞后logistic映射的不稳定单周期点的镇定和混沌同步.通过分析受控系统的Jacobi矩阵对应的特征方程和计算响应系统的最大条件Lyapunov指数,分别得到了离散系统的不稳定单周期点的镇定条件和混沌同步条件.基于Matlab软件的数值模拟结果证明了上述方法的有效性.

一个二维滞后Logistic映射的分岔与分形

利用理论推导分析了二维滞后Logistic映射周期解的稳定性和分岔,利用相图、分岔图、Lyapunov指数和分维数等计算方法,证明了二维滞后Logistic映射依次经叉形分岔和Hopf分岔通向混沌.对二维滞后Logistic映射的吸引盆及其广义M-J集的研究表明:不同周期轨道的吸引盆形状相似,大小不同,每个吸引盆中周期和非周期区域之间的边界是分形的;广义M集的结构与a,R和有N关,广义J集的结构与a,R,N,和Cx,Cy有关,并且广义M-J集具有分形特征.

二维logistic映射的动力学行为和奇怪吸引子的分形特征

研究了二维logistic映射的动力学行为和奇怪吸引子的分形特征.利用分岔图、相图和Lyapunov指数谱分析系统的分岔过程,研究系统通向混沌的道路并确定系统处于混沌运动的参数区间;采用G-P算法计算奇怪吸引子的关联维数和Kolmogorov熵,对奇怪吸引子的分形特征定量刻画;采用逃逸时间算法构造奇怪吸引子的彩色广义M-J集,对奇怪吸引子的分形特征定性表征.结果表明,这些分析方法的配合使用可以更全面、形象地描述奇怪吸引子的分形特征.

利用Barnsley蕨作为陷阱构造伪3D牛顿变换的广义M-J集

本文将P ickover、Carlson和叶瑞松的陷阱技术进行了改造,以Barnsley蕨类植物叶子(简称Barnsley蕨)作为陷阱,并提出了双陷阱技术。将Carlson和叶瑞松采用静态陷阱由陷入法构造复多项式F(z)=z4+(c-a0)z2-a0c的伪3D牛顿变换的准M集的方法进行了推广,利用Barnsley蕨陷阱构造并研究了复多项式F(z)=zα+(c-a0)zβ-a0c(α,β∈R,且α>β≥2)伪3D牛顿变换的广义M-J集。研究表明:(1)无论α和β取何正整数值,广义M集中都存在着由坏点组成的经典M集,且经典M集的指向随α和β的不同而不同;(2)广义M-J集中存在具有3D效果且与对应陷阱形状相近的大小不同的彩色元素,并具有自相似特征;(3)α和β为正小数时,相角θ主值范围的不同选取将导致广义M-J集的不同演化。

超复数系统中的高维广义M-J集

研究超复数算法优化问题,由于超复数系统中构造曼德勃罗-茱莉亚集(M-J集)的算法目前还停留在三元数和四元数水平,且仅实现了低维M-J集在2-D和3-D截面上的仿真。为了更深入研究分形结构的特征性质,使用倍增和截去方法建立了任意维的超复数系统,讨论了超复数系统中的加法和乘法运算是闭的前提条件,并给出了超复数系统中高维(任意偶数维)广义M-J集的定义及构造算法。通过选取不同参数,实现并绘制了不同维度广义M-J集的2-D截面,对2-D截面的分形结构特征进行分析,结果表明高维广义M-J集在不同水平上的自相似性,并理论证明了2-D截面的对称性。有关对称性的分析将有助于进一步研究超复数动力学。

一类广义Logistic映射的分形特征与同步

本文讨论了一类二维广义Logistic实映射的Julia集和Mandelbrot集.首先采用盒维数计算法,计算了实映射Julia集的分形维数,并引入一种线性反馈控制的方法,对实映射的Julia集进行了控制.其次引入不同系统间Julia集同步的概念,通过非线性耦合控制的方法,对具有不同参数两个实映射的Julia集进行了同步.最后通过引入实参数的方法构造了实映射的Mandelbrot集,并通过梯度控制法实现了具有不同参数的两个实映射Mandelbrot集的同步.仿真结果表明了控制和同步方法的有效性.