对洪关于幂LCM矩阵的一个猜想的注记(英文)

一个含有n个不同正整数的集合S={x1,…,xn}称为是gcd闭的,如果S中任两个整数的最大公因子也在S中.洪绍方在2002年猜想:对于给定的一个正整数t,存在一个仅由t决定的正整数k(t),使得当n≤k(t)时,定义在任意gcd闭集S={x1,…,xn}上的幂LCM矩阵([xi,xj]t)是非奇异的;而当n≥k(t)+1,则存在一个gcd闭集S={x1,…,xn},使得定义在其上的幂LCM矩阵([xi,xj]t)奇异.洪于1999年证明了k(1)=7.在本文中,作者证明了若t≥2,则有k(t)≥8.

因子链上的最大公因数幂矩阵与最小公倍数幂矩阵

设S={x1,…,xn}是由n个不同正整数组成的集合,ε∈Z+.本文研究了对ε∈Z+定义在任意因子链S上的幂矩阵(S)εn间的整除性.n与det[S]εn和[S]εn的奇异性及它们的行列式det(S)

因子链上幂矩阵行列式的整除性

设S={x1,……,xn}是由n个不同正整数组成的集合,ε∈Z+,如果n阶矩阵的第i行j列元素是S中元xi,xj的最大公因数(xi,xj)的ε次幂(xi,xj)ε,就称这个矩阵是定义在S上的最大公因数的ε次幂矩阵,简记为(S)εn;如果n阶矩阵的第i行j列元素是S中元xi,xj的最小公因倍数[xi,xj]的ε次幂[xi,xj]ε,就称这个矩阵是定义在S上的最小公倍数的ε次幂矩阵,简记[S]εn为。如果S中元素满足1≤i≤j≤n有xi|xj,就称S是一个因子链。研究了对ε∈Z+,定义在任意因子链S上的幂矩阵(S)εnn和[S]ε的行列式det(S)εn间的整除性。

最大公因数闭集上幂矩阵的行列式整除性

设S={x1,…,xn)是由n个不同正整数组成的最大公因数闭集,我们证明: (1)如果n≤3,则对(?)ε∈Z+,有det(S)nε整除det[S]nε;(2)如果maxxi∈S{xi}<12, 则对(?)ε∈Z+,有det(S)nε整除det[S]nε;(3)如果maxx∈S{R(x)}≤1,其中R(x)是x 在S中的最大型因子集,则对(?)ε∈Z+,有det(S)nε整除det[S]nε．