命题逻辑中极大和谐理论之集上的拓扑与Cantor三分集

从结构上清楚地描述了极大和谐理论的构造,证明了一个理论是极大和谐的当且仅当它是文字序列的逻辑闭包;在全体极大和谐理论之集上通过自然的方式引入了一种紧Hausdorff拓扑,证明了所得拓扑空间与Cantor三分集同胚.作为应用,给出了命题逻辑系统完备性的一个简单证明.

可变模糊集合理论——兼论可拓学的数学与逻辑错误

在工程模糊集理论与文献的基础上,给出对立模糊集概念与定义,提出相对比例函数概念与定义,建立比较系统的可变模糊集理论体系,是对经典模糊集合静态理论的突破与发展,也是自然辩证法哲学原理数学化的基础.分析论证了可拓学存在的数学与逻辑错误以及关联函数基本公式错误的两种形式,指出其不能应用于实际领域,尤其是工程领域.

数理逻辑之研究对象、学科归属、定义及研究领域

鉴于对数理逻辑这一学科的定义、研究对象、研究领域与学科归属等问题,尚无一个一致的说法,有的已不符合历史发展的现状.例如,就学科归属而言,就有两种说法:其一说数理逻辑是数学的一个分支;其二说数理逻辑是逻辑学的一个分支,如此等等.有的数理逻辑著作中完全不论及这类问题.为此,本文从数理逻辑历史发展的几个侧面加以分析,并综合各家之长对数理逻辑的定义、研究对象、研究领域与学科归属等问题进行了探讨.

中介逻辑与中介公理集合论的综述

以中介逻辑演算系统和中介公理集合论为主要内容的中介数学系统是一种在数学基础意义上将精确性量性对象扩展到模糊量性对象的系统,它对数学的逻辑基础和集合论研究产生了重要影响。文中主要从下面3个方面论述:中介数学系统的研究背景;中介数学系统的基本内容及其与经典数学系统的关系,其中简要介绍了中介概念、中介原则、中介逻辑演算系统、中介公理集合论和中介数学系统的研究现状;有关中介逻辑的学术争论,特别围绕中介逻辑是不是一个新逻辑引用了正反双方的意见。此外,还展望了中介数学系统的应用前景。

集合论在离散数学中的作用探索

在《离散数学》课程中,集合论绝不像表面显现的那么简单,相反地,它可谓一根主线贯穿了整个《离散数学》课程,在该课程的数理逻辑、关系、图论、代数系统等部分均发挥着表达工具或内容支撑的作用.在本文中,我们就集合论在《离散数学》各部分内容中的作用进行了探索,希望所得结论能引起各位《离散数学》授课教师的重视.

数学基础文化素质课程教学探索

集合论知识在数学体系中具有基础性地位,是整个数学的基础。对各个专业的学生进行数学基础方面的教学,对于提高学生的文化素质具有重要意义。通过设计相应的课程教学策略,培养学生应用集合论的基本原理思考和分析所从事专业当中涉及的问题,并能够用集合论知识中所蕴含的逻辑思维方法提升工程实际中数学描述和表达的深度与广度。

《数理逻辑和集合论》讲课用例的设计和构造

《数理逻辑与集合论》是数学、信息、哲学和计算机科学等专业的重要基础,但其高度的抽象性特点往往使得学生望而生畏.课程教学中不能只强调抽象的、难以理解的符号系统,而必须立足于使学生拥有很好的直觉认识能力.在教学过程中有意识地选择数学和信息科学中学生们熟悉的典型实例,精心设计和构造以帮助学生理解相应的抽象概念,在温故知新的基础上,大大拓展了学生视野,对理解抽象概念起到事半功倍的成效.

康托实数集合不可数证明中的四种错误探析

从逻辑、无穷观、极限论和证明的思路及具体的操作过程,分析了新发现的康托在实数集合不可数证明中所存在的四种错误,得到"由于与现有经典无穷理论体系、经典极限论和经典数量体系密切相关的数学基础理论中所存在的缺陷,康托在这类证明中无法回避这四种很严重但却很隐蔽的错误"的明确结论.特别是其中的逻辑错误使这样的证明无意中成了一种典型的数学魔术.

中介粗集及其在数据挖掘中的应用

粗集理论已成功应用于数据挖掘 ,如基于粗集方法的属性发现和决策规则的约简等。中介集合论是以中介逻辑为基础 ,也可以用于数据挖掘。文中将两者相结合 ,提出了中介粗集的概念。中介粗集是普通粗集的推广 ,为不完全信息系统的数据挖掘提供了新的工具 ,不仅可用于一般的信息系统 ,还适用于数据取空值的信息系统 (允许结论取空值 )。利用中介粗集进行数据挖掘不但可以得出粗集理论中的约简 ,还能得到更为简洁的中介约简。

一种基于逻辑代数模型的动态故障树不交化方法

针对动态故障树的逻辑代数模型,提出一种不交化方法:在获得最小割序列或集合的基础上,通过对动态逻辑事件进行"非运算"和"反演"运算,推演出故障树逻辑代数模型的容-斥不交化形式,为其后的动态故障树定量分析提供有效的结构函数表达式。借助一个共享备件的双温贮备(WSP)系统案例的研究,可以体现出该种方法较之传统方法的优越性。

概括原则与悖论研究的进展

悖论的出现与概括原则中的造集的任意性有很大关系。然而,历史上各种排除悖论的方案要么修改概括原则而过多地限制了概括原则的合理内容,要么修改与之配套的逻辑系统而导致失败。近年来,这些问题的研究又取得了新的进展,有必要历史地加以评介,本文从类型论、ZFC公理系统、BG公理系统、多值逻辑系统和中介数学系统五个方面综述逻辑数学悖论之解释方法的研究情况。

数学符号及其教学的思考

通过对近代数学的基本观点——集合和数理逻辑的符号分析,阐述数学符号的一些特征;并对中学数学符号教学进行初步探讨。

MS 中的自然数系统

首先给出了中介逻辑ＭＬ的二值子系统ＦＩ＊ＭＬ，说明了它与经典二值逻辑的子系统ＦＩ＊同构。其次，利用中介公理集合论ＭＳ的相关理论，构造了ＭＳ中的自然数系统，证明了Ｐｅａｎｏ５条公理为ＭＳ中的定理。最后指出以此五条性质为公理，并以ＦＩ＊ＭＬ为配套逻辑，在ＭＳ中可推出自然数的所有性质。这表明Ｐｅａｎｏ自然数系统能在ＭＳ中产生，为最终证明精确性经典数学能奠基于ＭＳ提供了理论基础。

QRDChecker:一个QRDC模型检验工具

反应式系统通常是不终止的,其行为定义为系统状态的无限序列的集合.形式化验证时,检验需求一般使用时序逻辑给出.当使用诸如 LTL(linear temporal logic)这样的逻辑时,由于这类逻辑的模型同样是无限序列,系统与需求之间的满足性关系可以简单定义为集合的包含关系.但是,当使用时段时序逻辑(interval temporallogic)作为说明逻辑时,由于逻辑模型的有限性,使得上面的满足关系不再适用.称这类有限序列集合表达的性质为有限性性质.对于不同的有限性性质,它们对应的满足性关系是有区别的.针对两类有限性定义了它们各自的满足性关系,并将这两种关系统一为一个更一般的满足性关系.在此基础上,提出模型检验这两类性质的算法,并将 其 实 现 为 一 个 针 对 时 段 时 序 逻 辑 QRDC(quantified RDC (restricted duration calculus))的 检验工具QRDChecker.QRDChecker 可以检验 QRDC 公式在连续时间模型和离散时间模型下的有效性.在离散时间条件下,它还可以将 QRDC 公式转换成模型检验系统 Spin 能够接受的自动机的形式,从而可以检查反应式系统是否满足用 QRDC 公式表达的性质.

人工智能技术融入离散数学课程的教学探索

新工科建设要重视人工智能与计算机、数学、控制等学科专业教育的交叉与融合。人工智能技术作为相关学科专业的一门重要的基础课程,融入离散数学教学,有助于打破学科壁垒,跨越专业藩篱,从而培养创新型卓越工程科技人才。文章将专家系统、决策树、推荐系统以及程序设计语言的文法规则相关技术引入离散数学核心内容的延伸教学环节中,对于增强学生学习兴趣、明确专业实际应用、追踪智能前沿与拓展知识创新等具有十分重要的意义。

中介公理集合论系统与经典公理集合论系统的关系——形式证明部分

在中介公理集合论系统（ＭＳ）中重新定义了良集的概念，讨论了它的性质。证明良集完全满足经典公理集合论系统（ＺＦＣ－：ＺＦＣ系统中去掉正则公理）的全部公理，且其配套的逻辑系统恰为中介逻辑的二值子系统ＦＩ＊ＭＬ，说明整个经典数学也能奠基于ＭＳ之上，从而最终回答了中介数学与经典数学的包含关系问题。

数学符号的简单历史

本文从数字符号、代数符号、微积分、集合论和数理逻辑符号的发展历史,勾画出整个数学符号的发展历史。

模糊集合论对罗素悖论的解决

模糊逻辑延续了多值逻辑对二值原则的扩张态度,基于模糊逻辑构造出的模糊集合论,能够从形式主义的角度解决罗素悖论。哈耶克提出的基本模糊逻辑系统将几种多值逻辑系统作为其扩张来处理,为这样的构造奠定了基础。由此产生的公理化模糊集合论、模糊类理论和朴素模糊集合论对罗素悖论都有不尽相同的回应。

整齐的节俭性

少年时代对地图的兴趣滋养了我对结构和精确性的品位,也滋养了我对世界的好奇心。在学业上,我很早就表现出数学的才华,并偏好语言和哲学。大学时代,我选择了数学专业,并将数理逻辑作为我的优等生学习内容。随后的20年,我的大部分精力都用于从事数理逻辑或与之相关的研究。45岁之后,我的注意力更多地转移到了科学哲学。整齐的节俭性,即标准的清晰性和假设的经济性,对于我来说,在逻辑、数学和自然科学以及关于它们的哲学中,都是一盏指路明灯。

浅议一阶逻辑的发展与集合论公理化的关系

众所周知,一阶逻辑与公理集合论是数理逻辑的两个组成部分,其中,一阶逻辑是数理逻辑的基础部分。但在数理逻辑刚刚出现的时候,逻辑不是一阶的,集合论也经历了由康托尔素朴集合论到公理集合论的发展。在数理逻辑发展的历史中,一阶逻辑的出现及其主导地位的确立与集合论的公理化,二者之间存在着密切的联系。