对数凹函数熵的低维Busemann-Petty问题

引入对数凹函数嫡的Busemann-Petty问题,即对于2个R^(n)上的偶的对数凹函数f和g,且f和g具有正的、有限的积分,假设∫R^(n)∩Hf(x)dx≤∫R^(n)∩H^g(x)dx≤对于任意i维子空间H均成立,是否能够得到Ent(f)≥Ent(g).得到了该问题的部分解答,为解决凸体上的低维Busemann-Petty问题提供了一种新的途径.

关于测度的低维Busemann-Petty问题

测度的低维Busemann-Petty问题是指:对其有密度函数的任意Borel测度μ及v-维欧氏空间的两个中心对称凸体K和L来说,它们被任意的v-v-维子空间所截,所得的v-v-阶截面体的测度满足μ(K∩ξ~⊥)≤μ(L∩ξ~⊥),其中ξ∈G(n,k),那么其n-维凸体K和L的测度μ(K)≤μ(L)是否成立?本文利用凸几何分析方法及Radon变换技巧,获得了与Rubin及Zhang关于体积的低维Busemann-Petty问题的结论相一致的结果。