GCD封闭集上幂矩阵行列式的整除性

设S={x_(1),…,xn}为n个不同正整数构成的集合,若对任意不超过n的正整数i,j,均有gcd(x_(i),x_(j))∈S,则称S是GCD封闭集.对于元素x,y∈S(y<x),若由y|z|x和z∈S可推出z∈{y,x},则称y是x的一个最大型因子.令GS(x)表示x在S中所有最大型因子构成的集合.设a和b是正整数,f是算术函数.以(f^(a)(S))(对应地(f^(a)[S]))表示一个n阶方阵,其第i行第j列元素为f^(a)(gcd(x_(j),x_(j)))(对应地f^(a)(lcm(x_(j),x_(j)))).令|T|表示有限集T的基数.在本文中,当a|b,S为GCD封闭集且maxx∈S{|GS(x)|}≤2时,我们建立了几个关于幂矩阵(f^(a)(S))与(f^(b)(S)),(f^(a)(S))与(f^(b)[S]),(f^(a)[S])与(f^(b)[S])的行列式之间的整除性结果.

GCD矩阵和LCM矩阵的性质

设S＝｛x1，x2，…，xn｝是含n个不同正整数的集合，（S）、［S］分别是定义在S上的GCD矩阵和LCM矩阵．给出了对偶因数封闭集的定义，讨论了对偶因数封闭集和最小公倍数封闭集上的矩阵（S）和［S］的性质．

GCD封闭集上的幂矩阵行列式间的整除性

设a,b,n为正整数,S={x_(1),…,x_(n)}是由n个不同正整数x_(1),…,x_(n)构成的集合.以(S^(a))([S^(a)])表示n×n矩阵,其中第i行j列元为x_(i)和x_(j)的最大公因子(x_(i),x_(j))(最小公倍数[x_(i),x_(j)])的a次幂.本文给出以下结果:若a|b,n≤3,则det(S^(a))|det(S^(b)),det[S^(a)]|det[S^(b)],det(S^(a))|det[S^(b)];若a|b,n≥4,S是n个不同正整数构成的n-3重最大公因子闭集,则det(S^(a))|det(S^(b)),det[S^(a)]|det[S^(b)],det(S^(a))|det[S^(b)];对任意正整数n≥4,存在n-4重最大公因子闭集S,使得det(S)■det(S^2),det[S]■det[S^2],det(S)■det[S^2].所得结果加强和推广了Hong在2003年及Chen和Hong在2020年得到的结果.

MOBIUS变换与GCD函数矩阵（Ⅱ）

本文作为ＭＢＩＵＳ变换与ＧＣＤ函数矩阵（Ⅰ）的续篇，继续讨论在ＧＣＤ闭集上的函数矩阵（ｆ（Ｓ））及其行列式的计算方法．特别是我们用组合学的方法，求得了定义在集Ｓ上的Ｍｂｉｕｓ矩阵，它推广了数论中的Ｍｂｉｕｓ函数μ．从而求得了（ｆ（Ｓ））的逆矩阵．

关于平方LCM矩阵和LCM方程的注记

设S={x1,…,xn}是由n个不同正整数组成的集合.第i行j列元素为xi和xj的最小公倍数[xi,xj]的n×n阶矩阵([xi,xj])称为定义在S上的LCM矩阵.如果对所有的1≤i,j≤n,有(xi,xj)∈S,称S是最大公因子封闭的(gcd closed).作者考虑了方程11+1(y2,y3)=0[y1,y2,y3,y4]-∑4(y1,y3)+1(y1,y2)+1yii=1的二次幂整数解,证明了对于给定的整数x,如果用ω(x)表示x的不同素因子的个数并令y=[y1,y2,y3,y4],那么当ω(y)<4时,方程没有t(≥2)次幂整数解,并且给出ω(y)=4时方程有二次幂整数解的必要条件.进一步证明了y≤1334025时方程无二次幂整数解.

关于最大公因子封闭集上的幂LCM矩阵的注记

设S={x1,…,xn}是由n个不同正整数组成的集合,e是一个实数.如果对所有的1≤i,j≤n,有(xi,xj)∈S,则称S是最大公因子封闭的(GCD-closed).第i行j列元素由xi和xj的最小公倍数的e次幂[xi,xj]e构成的n×n阶矩阵([xi,xj]e)称为定义在S上的e次幂LCM矩阵.作者证明了如果e≥1并且n≤7,那么定义在最大公因子封闭集S上的幂LCM矩阵([xi,xj]e)是非奇异的,从而证明了洪绍方教授2004年提出的一个猜想当n≤7,e≥1时是正确的.

LCM矩阵的可逆性与不定方程ayz+bzx+cxy=xyz+1的解(英文)

设Ｓ＝｛ｘ１，ｘ２，…ｘｎ｝是不同正整数的集合. 已经知道当ｎ≤７时在最大公因数封闭集Ｓ上的．ＬＣＭ矩阵是可逆的；也知道当ｎ≥９时有无限多个包含整数１的最大公因数封闭集它们的ＬＣＭ矩阵是奇异的；这篇文章的主要结果是证明当ｎ＝８且包含整数１时，除了２０个最大公因数封闭集外，其余所有最大公因数封闭集上的ＬＣＭ矩阵都是可逆的，而这归结为解一个不定方程．

LCM矩阵的一些性质(英文)

设S=｛X1，X2，…，Xn｝是不同正整数的集合.称S为gcd封闭集，如果Xi与xj的最大公因数（Xi，xj）也属于S（1≤i，j≤n）．矩阵［S］被称为S上的最小公倍数（LCM）矩阵，如果它的i，j位置元素是Xi与xj的最小公倍数［xi，xj］．BourqueandLigh猜想：一个gcd封闭集上的LCM矩阵是可逆的．作者证明了当n≤7时猜想成立，但当n≥8时猜想不成立．同时也给出一个新的计算det［S］的公式．

最大公因数闭集上平方矩阵的行列式的整除性

设S={x1,…,xn}是由n个不同正整数组成的最大公因数闭集.得到的主要结果是:(1)如果n≤3,则det(S)n2整除det[S]n2;(2)如果max{xi}xi∈S<12,则det(S)2n整除det[S]2n;(3)当n=4时,存在最大公因数闭集S,有det(S)2n不整除det[S]n2.

对洪关于幂LCM矩阵的一个猜想的注记(英文)

一个含有n个不同正整数的集合S={x1,…,xn}称为是gcd闭的,如果S中任两个整数的最大公因子也在S中.洪绍方在2002年猜想:对于给定的一个正整数t,存在一个仅由t决定的正整数k(t),使得当n≤k(t)时,定义在任意gcd闭集S={x1,…,xn}上的幂LCM矩阵([xi,xj]t)是非奇异的;而当n≥k(t)+1,则存在一个gcd闭集S={x1,…,xn},使得定义在其上的幂LCM矩阵([xi,xj]t)奇异.洪于1999年证明了k(1)=7.在本文中,作者证明了若t≥2,则有k(t)≥8.

两个互素因子链上的幂GCD矩阵的行列式与幂LCM矩阵的行列式的整除性

设S={X_1,X_2,…,X_n}是由n个不同的正整数组成的集合,并设整数a≥1.如果n阶矩阵的第i行j列元素是S中元素X_i和X_j的最大公因子的a次幂(X_i,x_j)~a,则称该矩阵是定义在S上的a次幂最大公因子(GCD)矩阵,用(S^a)表示.类似可定义a次幂LCM矩阵[S^a].作者证明了:设S由两个互素的因子链构成并且1∈S.若a|d,则det(S^a)|det(S^a),det[S^a]|det[S^b]和det(S^b)|det[S^b].若S由两个不互素的因子链构成,则如此分解定理不成立.

六元gcd封闭集上Smith矩阵的整除性

我们给出了关于六元gcd封闭集S的充分必要条件,使得在整数矩阵环M_6(Z)中,定义在S上的e次幂GCD矩阵(S^e)整除e次幂LCM矩阵[S^e].这部分解决了Hong在2002年提出的一个公开问题.

使得幂GCD阵(S^e)整除幂LCM矩阵[S^e]的四元gcd封闭集S的一个刻画(英文)

Hong在2002年证明了如下结果:若S为gcd封闭集且|S|3,则在|S|阶整数矩阵环M|S|(Z)中,GCD矩阵(S)整除LCM矩阵[S].设e 1为给定的整数.在本文中,我们给出了关于四元gcd封闭集S的充分必要条件,使得在环M4(Z)中,定义在S上的e次幂GCD矩阵(Se)整除e次幂LCM矩阵[Se].这部分解决了Hong在2002年提出的一个公开问题.

GCD封闭集上倒数幂GCD矩阵的非奇异性

设α为正整数,S={x_(1),…,x_(n)}为n个不同的正整数构成的集合。若对任意1≤i,j≤n,均有gcd(x_(i),x_(j))∈S,则称S是GCD封闭集。如果一个n阶方阵的第i行第j列元素为1/(gcd(x_(i),x_(j)))^(α),那么称它是定义在集合S上的α次倒数幂GCD矩阵。本文给出了某些特殊类型的GCD封闭集S上α次倒数幂GCD矩阵的行列式的计算公式,并且得到了有关其非奇异性的一些结果。

最大公因子封闭集上幂矩阵行列式的整除性

设S={x_1,x_2,…,x_n}是由n个不同的正整数组成的集合,并设整数a≥1.如果n阶矩阵的第i行j列元素是S中元素x_i和x_j的最大公因数的a次幂(x_i,x_j)~a,则称该矩阵是定义在S上的a次幂GCD矩阵,用(S^a)表示.类似可定义幂LCM矩阵[S^a].作者证明了:若S是由n个不同的正整数组成的一个最大公因子封闭集,且a|b,如果n≤3,那么det(S^a)|det(S^b),det[S^a]|det[S^b];如果max{x_i}(?)<12,那么det(S^a)|det(S^b),det[S^a]|det[S^b].

关于幂LCM矩阵非奇异性的洪猜想的注记(英文)

作者研究了关于幂LCM矩阵非奇异性的两个洪绍方猜想,得到了几个非奇异性定理.

一类整数矩阵的最小奇异值的界

令正整数集S={x_1,x_2,…,x_n}(n≥1,x_i∈Z^+)为因子封闭集,即对任意的x_i∈S,它的所有正因子都包含在S中,S上的幂GCD矩阵及倒数幂GCD矩阵分别定义为(S^e):=((x_i,x_j)~e)及(1/S^e):=(1/((x_i,x_j)~e)).本文给出矩阵(S^e)及(1/S^e)的最小奇异值的上下界.

最大公因数闭集上幂矩阵的行列式整除性

设S={x1,…,xn)是由n个不同正整数组成的最大公因数闭集,我们证明: (1)如果n≤3,则对(?)ε∈Z+,有det(S)nε整除det[S]nε;(2)如果maxxi∈S{xi}<12, 则对(?)ε∈Z+,有det(S)nε整除det[S]nε;(3)如果maxx∈S{R(x)}≤1,其中R(x)是x 在S中的最大型因子集,则对(?)ε∈Z+,有det(S)nε整除det[S]nε．