λ-相交体的Busemann-Petty问题

对于λ<n和λ≠0,Rubin引进了R^n中原点中心对称星体K的λ-相交体IBλ(K)的概念.本文研究IBλ(K)■IB_λ(L)是否必定■vol_n(K)≤vol_n(L)(或vol_n(K)≥vol_n(L))的Busemann-Petty问题.其结论概括为:λ-相交体的Busemann-Petty问题的解为肯定当且仅当R^n中任意一个原点中心对称星体都是一个λ-相交体.这些结果推广了经典相交体的Busemann-Petty问题的特定正解.

对偶L_p混合质心体的广义Busemann-Petty问题

首先考虑了Rn中凸体K的i-曲率函数fi(K,.)和Lp-曲率函数fp(K,.)的综合推广,引进了Rn中凸体K的Lp-混合曲率函数fp,i(K,.)的概念,然后研究了对偶Lp-混合质心体Γ-p,iKΓ-p,iL是否必定蕴含Wi(K)≤Wi(L)的类似Busemann-Petty问题,获得了一些相应的结果.

广义L_p-仿射表面积和Shephard型问题

对于p≥1,引入了Rn中凸体K的i-型Lp-仿射表面积Ω(i)p(K)(i=0,1,…,n-1)的概念,使得Lp-仿射表面积Ωp(K)是其i=0的特殊类;运用Lp-Brunn-Minkowski理论和余弦变换方法,成功地解决了Lp-混合投影体∏p,iK∏p,iL是否一定蕴含Ω(i)p(K)≤Ω(i)p(L)的Shephard型问题.

关于L_p-混合质心体的Busemann-Petty问题

对p≥1,Lutwak和Zhang引进了R^n中一个星体K的L_p-质心体Γ_pK的概念,Grinberg和Zhang研究了L_p-质心体算子Γ_p的Busemann-Petty问题;最近,马统一引进了星体K的L_p-混合质心体Γ_(p,i)K(i∈R)的概念,即L_p-质心体是它的特殊类.本文研究了Γ_(p,i)K(?)Γ_(p,i)L是否一定(?)的问题.其结果是Grinberg和Zhang关于L_p-质心体算子Γ_p的Busemann-Petty问题的推广形式.

L_p-混合投影体的Shephard问题与Minkowski-Funk变换

推广了Rn中凸体K的i-曲率函数fi(K,·)(i=0,1,…,n-1)和Lp-曲率函数fp(K,·)(p≥1)的概念,引进了Rn中凸体K的L-混合曲率函数f(K,.)(i=0,1,…,n-1,p≥1)的概念,研究了L-混合投影体Πp,iKΠp,iL是否一定>Wi(K)≤Wi(L),当1≤p<n-i时;Wi(K)≥Wi(L),当n-i<p{时的广义Shephard问题。获得的结果是Ryabogin和Zvavitch关于Lp-投影体算子p的Shephard问题的推广形式。