基于4阶Bézier曲线的路径平滑方法研究

路径平滑技术旨在采用以曲代直的方法解决路径规划中存在的尖角问题,实现路径的平滑化,以满足外形设计和运动规划等工程应用需求。文中在深入探讨了Bézier曲线在路径平滑领域的应用优势及其在路径拟合中产生的较大偏差后,提出了一种基于内外比例因子的4阶Bézier曲线路径平滑新方法。通过严谨的理论分析,证明了该方法能够有效控制平滑误差,在不考虑路径节点坐标的情况下,误差上限为4.25,从而实现对原始路径的高精度平滑近似。在无人机路径平滑的仿真实验中,该方法耗时0.0061 s,证明了其在平滑处理速度方面的优越性。综合理论分析与实验结果,该方法不仅在平滑效果上表现出色,而且在处理速度上也具有明显优势。同时由于仅涉及内外比例因子两个自由参数,因此,操作简单,易于实现,具有较强的适用性和灵活性。

带形状参数的三角λ-Bézier曲线

为了克服传统Bézier曲线缺乏局部调整性并且不能精确表达圆锥曲线的缺点,构造了一个带形状参数的n(n≥2)次三角λ-Bézier曲线,为了降低工作难度,各阶曲线的形状参数取值范围保持不变。首先将基函数设置在三角多项式空间中,利用递推性构造了λ-Bernstein基函数,进而讨论了该基函数的端点性和对称性等重要性质,并由该基函数定义了n(n≥2)次λ-Bézier曲线。另外,讨论了形状参数取不同值时对曲线形状的影响以及曲线的拼接条件:在一定的条件下,该曲线可达到G2拼接;最后,给出了张量积形式的λ-Bézier曲面以及性质。实例表明,该曲线克服了传统Bézier曲线缺乏局部调整性的缺点且能近似表达圆弧和抛物线等圆锥曲线。

具有极小能量的空间T-Bézier曲线

T-Bézier曲线具有广阔的应用前景。为构造光顺的空间T-Bézier曲线,给出了基于能量极小化确定T-Bézier曲线所含两个形状参数最优取值的方法。该方法同时考虑了T-Bézier曲线的弯曲能和扭曲能,更加符合空间曲线既要考虑弯曲程度又要考虑扭曲程度的几何特征。为便于实际应用,基于MATLAB平台设计了本文算法对应的图形用户界面,用户通过简单的操作即可绘制并保持具有极小能量的空间T-Bézier曲线。

构造曲率单调的组合二次h-Bézier曲线

h-Bézier曲线(h>0)又被称为Pólya曲线,它具有与经典Bézier曲线(h=0)一致的诸多优良性质。为此,文中研究了二次h-Bézier曲线具有单调曲率的充要条件及其构造算法。首先,讨论二次h-Bézier曲线曲率极值的存在性,得到曲线具有单调曲率的充要条件;通过引入曲率临界圆,给出判断二次h-Bézier曲线曲率单调性的几何方法,即检查二次h-Bézier曲线的中间控制点是否在曲率临界圆上或圆内;并由此得到构造具有单调曲率的二次h-Bézier曲线的两种算法,通过调节形状参数h可保证曲线具有单调递减或单调递增的曲率。其次,研究两条二次h-Bézier曲线的光滑拼接,基于对二次h-Bézier曲线性质的分析,选择第二条曲线在肩点处与第一条曲线的端点实现拼接,得到G~2拼接的充要条件;讨论参数对拼接曲线形状的影响。最后,构造出同时满足G~2拼接、曲率单调递减(或单调递增)的组合二次h-Bézier曲线。数值实例显示了组合二次h-Bézier曲线的造型优势和灵活性。

基于三角和代数多项式的T-Bézier曲线

该文从Γn=span{ 1,t,t2 ,t3 ,… ,tn -4,sint,cost,sin2t,cos2t}中提取出名为T B啨ｚｉｅｒ的一组基 ,分析了该组基的性质 ,并由该组基定义了T B啨ｚｉｅｒ曲线 ,同时证明了许多有实际应用价值的曲线 (如代数曲线和超越曲线 )可以用T B啨ｚｉｅｒ曲线的形式精确表示 .

三次T-Bézier曲线的光顺延拓

将曲线的最小物理变形能量作为目标函数,提出了一种三次T-Bézier曲线曲面的光顺延拓算法。利用G2连续性作为约束条件,则延拓的曲线具有两个自由度,并取其中的一个自由度为零;基于延拓曲线的最小物理变形能量确定第二个自由度及延拓曲线的控制点,进而确定延拓曲线,重新参数化所延拓的曲线可以与原曲线在拼接点处C3连续拼接;此外,将该方法应用于双三次T-Bézier曲面的延拓。实例表明,该方法构造的曲线曲面具有较好的光顺性。

基于四元数和Bézier方法的五次空间PH曲线

为保证空间Pythagorean-hodograph(PH)曲线的光顺性并使曲线最小旋转,提出了五次空间PH曲线构造。给定空间4个控制点,在给定的端点属性下,运用四元数方法构造四次Bézier曲线。对该曲线积分得到插值端点的五次PH曲线。此PH曲线的控制顶点是在原控制点的中间插入2个新节点,并且这些顶点可以用四元数运算表示。构造的五次PH曲线包含多个自由度,利用这些自由度可以对曲线进行优化调节。一方面,可以利用自由参数,根据曲线几何意义对曲线的光顺性及最小旋转进行优化;另一方面,可以通过自由参数约束曲线合理的弧长。此PH曲线本身就是Bézier曲线,且带有自由参数,能实现分段曲线的光滑拼接。

一类T-Bézier曲线的α扩展

利用一个对称的调配函数,结合NURBS曲线中权的思想,在曲线控制顶点处引进调配参数,将一类T-Bézier曲线进行扩展,得到的新曲线比原来的曲线有更强的描述能力,并且包含了原曲线形式.讨论了扩展曲线的基表示及曲线的性质,调配参数可以用来控制曲线的局部形状,特别适用于自由曲线曲面的设计,在CAD/CAM中具有很好的应用前景.

带形状参数的T-Bézier曲线

给出了n阶带形状参数的三角多项式T-Bézier基函数.由带形状参数的三角多项式T-Bézier基组成的带形状参数的T-Bézier曲线,可通过改变形状参数的取值而调整曲线形状,随着形状参数的增加,带形状参数的T-Bézier曲线将接近于控制多边形,并且可以精确表示圆、螺旋线等曲线.阶数的升高,形状参数的取值范围将扩大.

三次T-Bézier曲线间的混合延拓

保持C2连续的条件下,在2条不相邻的三次T-Bézier曲线间构造了1条光顺的中间过渡曲线.首先,分别将2条曲线相邻的端点作为目标点,并根据三次T-Bézier曲线的C2连续延拓方法,构造出2条辅助延拓曲线;然后,利用这2条辅助延拓曲线及一类有理三角混合函数,生成1条带有平衡因子的混合延拓曲线;最后,将此混合延拓曲线应变能量的近似形式作为目标函数,并通过极小化目标函数法确定1条光顺的混合延拓曲线.此外,将该混合延拓方法应用于不相邻的三次T-Bézier曲面间的混合延拓.实例表明,由该混合延拓方法构造的曲线曲面具有较好的光顺性.

T-Bézier曲线能量法的光顺计算

针对T-Bézier曲线的光顺要求,提出了用能量法对T-Bézier曲线进行光顺。首先通过能量法对T-Bézier曲线修改一个控制顶点使之达到光顺,同时给出了扰动因子α对曲线的影响,由此得到欲移动T-Bézier曲线的一个控制顶点达到光顺,可先确定α,再确定新的控制顶点,就可得到光顺后的新的T-Bézier曲线。对整条曲线进行光顺时先确定扰动因子{αi}ni=1,然后求解一个系数矩阵为实对称三对角矩阵的方程组,再依次确定新的控制点列{Pi}ni=0,最后由控制顶点确定光顺后的三次T-Bézier插值曲线,从而使T-Bézier曲线不仅达到整体光顺而且在数据点实现C2连续。最后,给出了3个实例,说明该算法是简单、实用和有效的。

αβ-Bézier曲线的类De Casteljau算法

带形状参数的样条曲线比传统样条曲线有更丰富的曲线表达能力,应用广泛.本文研究了一类带形状参数αβ-Bézier曲线的类De Casteljau算法。首先对带形状参数的αβ-Bernstein基函数进行了扩展,讨论了基函数的相关性质,并给出了任意次数αβ-Bézier曲线的定义。在此基础上基于基函数的递推关系给出了αβ-Bézier曲线的快速求值算法。该算法类似于经典的De Casteljau算法,通过对曲线控制顶点的一系列线性运算来实现。操作简单,比基于参数表达式计算曲线上点值的方法更为高效。计算实例表明了算法的可行性与有效性。

一种基于内外比例因子的4阶Bézier曲线路径平滑方法

路径平滑是指利用以曲代直的方法解决路径中存在的尖角问题,使路径变得平滑以满足实际需求。通过研究Bézier曲线在路径平滑中的优点以及存在的问题,文章提出了一种基于内外比例因子的4阶Bézier曲线路径平滑方法。该方法因为只有内外比例因子两个自由参数,因此,操作简单,易于实现,而且适用性更强,能够更好地平滑近似原有路径。实验结果表明该方法平滑效果好,速度快。

带多参数的Bézier曲线扩展及参数几何意义

提出一类新的带多参数的Bernstein基函数,该类基函数具有与Bernstein基函数相类似的非负性、规范性、对称性和端点性,并定义了一类带多形状参数的Bézier曲线,分析了该类曲线中形状参数的几何意义,通过选取不同的形状参数,对曲线形状的调整可以精确偏向某一确定的控制顶点,使曲线形状的调整更加灵活多变.

基于Babylon.js的n阶Bézier曲线轨迹设计

【目的】为在Babylon.js环境下实现三维物体任意运动轨迹的生成,给出一种三维物体n阶Bézier曲线运动轨迹的设计方法。【方法】首先根据Bézier曲线的原理设计一种循环递归的插值计算方法,对任意中间控制点数的Bézier曲线路径都可快速绘制;然后对比二阶、三阶及六阶Bézier函数的实际绘制效果;最后在Babylon.js的官方训练场中对物体其他阶次Bézier曲线轨迹进行绘制和运动仿真,并对轨迹形状进行可视化交互设计与调整。【结果】试验中本文方法与传统方法的曲线轨迹重合,表明本文算法实现了n阶Bézier曲线轨迹的绘制;小球能绕所设计轨迹运动验证了本文方法在物体轨迹设计上的有效性;轨迹调整前后对比结果验证了本文方法可视化交互设计的可行性。【结论】本文方法能有效快速实现虚拟环境中的三维物体复杂运动路径的设计与生成,从而为采用Bézier曲线来规划网页端三维物体的运动轨迹提供了一种新方法。

一种证明二次有理Bézier曲线曲率分布特征的新方法

本文给出了一种证明二次有理Bézier曲线曲率分布特征的新方法.该方法主要通过利用圆锥曲线的几何特征,得到圆锥曲线段的对称轴方程;并基于控制顶点和对称轴的位置,给出了二次有理Bézier曲线的曲率分布特征定理.这个方法与其他学者提出的方法相比更简单,更容易理解.

带两个形状参数的五次三角Bézier曲线

给出一组带两个形状参数λ1,λ2的五次三角基函数,基于此基函数定义了带两个形状参数的五次三角Bézier曲线.得到的新曲线不仅有Bézier曲线的几何特性,而且还可以对曲线造型进行自由的调整,并且分析了形状参数的几何意义,讨论了曲线间的C 1,C 2光滑拼接条件.所得曲线能精确地表示椭圆弧和抛物线弧.

带参数且易于拼接的Bézier曲线

定义了带两个形状参数α,β的多项式基函数,基于给定的基函数构造了二阶、三阶、四阶αβ-Bézier曲线.该曲线保留了Bézier方法优良的几何特性:端点性质、凸包性、几何不变性等,并且在控制顶点不变的情况下,可以通过改变形状参数的取值对曲线的形状进行灵活地调控.分析了形状参数的几何意义,且相邻曲线间可以在较简单的条件下达到G^(2)、G^(3)光滑拼接.最后,用实例证明了该曲线在造型设计中的有效性.

二次三角Bézier型曲线的扩展

给出了一组含有参数λ的三次三角基函数,分析了此基函数的性质。基于该组基定义了带形状参数的三角曲线,该曲线不仅具有二次T-Bézier曲线的性质,而且具有形状可调性和更好的逼近性。参数λ有明确的几何意义。最后还讨论了两段曲线的G2拼接条件。

切点可调的三阶三角Bézier曲线

在三角函数空间{1,sinv,cosv,sin 2 v}中,以三阶三角Bézier曲线的性质为基础,引入位置参数和形状参数,构造出切点和形状可调的三阶三角Bézier曲线.该曲线在简单条件下G 1连续,并能精确表示椭圆弧和圆弧.