让学习有必要,让学生想得到——“两角和与差的余弦公式”教学难点突破

“两角和与差的余弦公式”是高中数学教学的一个难点,主要表现在公式引入、公式推导两方面。在公式引入方面,从数学史的角度看,可通过求任意角的三角函数值;从高观点的角度看,可通过基本初等函数研究的一致性,即给出定义之后都要研究运算性质。在公式推导方面,可以引导学生:先探究基于锐角三角函数定义的平面几何方法,再推广到一般,探究基于任意角三角函数定义的解析几何方法,最后基于解析几何方法的构图,发散联想到向量方法,并注意其严谨性。

“两角和与差的余弦公式”:从历史中找价值、看证明

采用HPM视角来设计＂两角和与差的余弦公式＂的教学：利用阿里斯塔克斯解决天文测量问题和托勒密制作弦表的史实来引入,让学生感受两角和与差的正、余弦公式产生的必要性;利用帕普斯模型引导学生证明公式,并对帕普斯模型做适当改进;通过微视频介绍麦克肖恩方法的历史背景,再让学生阅读教材学习这一证明方法并谈谈感悟,体会麦克肖恩当时的想法。课后反馈表明,这样的教学沟通了历史和现实、数学和人文,体现了＂知识之谐＂＂探究之乐＂＂方法之美＂＂能力之助＂＂文化之魅＂＂德育之效＂。

知识载体 能力立意——“两角和与差的余弦公式”的教学争议

新课程中提倡实践经历的探索反思，使教研内容充满生机，让教学思维和思想化为一种鲜活的场景．

渗透数学文化 落实核心素养--对“两角和与差的余弦公式”教学的再设计

《普通高中数学课程标准(2017年版)》强调“注重数学文化的渗透”.数学文化对发展学生数学核心素养的教育价值是显而易见的.笔者以“两角和与差的余弦公式”的教学设计为例,立足课堂,渗透数学的文化内涵,落实数学核心素养的培育.

如何让学生获得“合理的工作量”——“两角和与差的余弦公式”教学设计分析

数学教育家G·波利亚在他的名篇《怎样解题》一书开篇中提到,数学教师最重要的任务--帮助学生.“学生应当获得尽可能多的独立工作的经验.但是,如果把问题留给他一人而不给他任何帮助,或者帮助不足,那么他可能根本得不到提高.而如果教师的帮助太多,就没有什么工作留给学生了.教师应当帮助学生,但不能太多,也不能太少,这样才能使学生有一个合理的工作量.”

浅谈数学公式推导过程的重要性——从“两角和与差的余弦公式”说起

"公式"是高中数学知识的重要组成部分,也是解答相关问题的重要依据,部分教师只强调公式的记忆及直接应用,忽视了公式的来龙去脉,使得学生只知其然不知其所以然.下面笔者以"两角和与差的余弦公式"为例,谈谈公式教学的一点体会.两角差的余弦公式:cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.公式的推导过程通常包括两类,一种是给出公式,进行证明;另一种是由其他已知关系直接推导出公式.下面从三种视角证明此公式,并就证明过程中所涉及的方法及应用进行举例说明.

指向“返朴归真”的数学教学——以“两角差的余弦公式”教学为例

从三个视角阐述“返朴归真”的数学教学:一是返教学方法之朴,归理念之真;二是返教学设计之朴,归过程之真;三是返教学手段之朴,归技术之真.

基于核心素养的数学公式教学设计——以“两角差的余弦公式”教学为例

两角差的余弦公式作为三角恒等变换公式中的“母公式”,其发现与推导过程极为重要,为后续两角和、二倍角等公式的生成提供方法借鉴。教师教学“两角差的余弦公式”时,可以引导学生在探究中发现并体悟两角差的余弦公式,将学生思维引向深层,凸显数学公式学习的深度,在公式的主动生成中发展学生的数学学科核心素养。

关注整体·科学设计·提升思维——“两角差的余弦公式”课例点评

“两角差的余弦公式”一课是公式教学课.基于单元整体,发挥单位圆的纽带作用,以问题和活动为引导,教学设计自然合理,关注学生的基础和认知规律,促进学生学会学习.多种方式的融合,为学生提供了丰富的思辨视角,有效辅助课堂教学,发展学生的数学核心素养.同时,给出了几点建议.

“两角差的余弦公式”教学设计

在单元背景下,“两角差的余弦公式”一课沿用诱导公式的研究思路,利用单位圆的几何性质,探究两角差的余弦公式.

把握动态生成,构建和谐课堂——听“两角差的余弦公式”有感

1背景介绍轰轰烈烈的新课程改革实施已有时日，新课程的理念也已深入人心，但是实际实施的情况究竟如何呢？笔者有幸到省内外几所学校听取了几位教师执教的同一堂课，课文是选自人教版3．1．1“两角差的余弦公式”，听完之后感触颇多，新课程标准明确提出要倡导积极主动、勇于探索的学习方式，笔者听到的几位教师上的课虽然不乏学生主动探索的“味道”，

两角和与差的余弦公式教学实录与反思

1基本情况 1．1授课对象 学生来自四星级重点高中普通班，基础较好，有一定的自学能力、推理能力及运算能力．

基于多元表征 促进全面理解——对“两角差的余弦公式”的教学思考

两角差的余弦公式有多种表征形式,从多元表征的视角实施两角差余弦公式的教学,有助于学生从多角度深刻理解公式、把握公式,从而发展学生的数学思维能力,提升学生的数学核心素养.本文从多元表征的教学价值、表征形式的合理选择、表征出现的顺序设计、表征理解的持续深化等方面对两角差余弦公式的教学提出了建议.

“对分课堂”在“两角差的余弦公式”教学中的运用

以人教A版《数学》必修4中“两角差的余弦公式”的一个教学片断为例,介绍在数学课堂教学中尝试运用“对分课堂”教学模式的一些做法和思考.

大概念引领下的“两角差的余弦公式”的教学

最近,笔者观摩了两节数学公开课,上课的主题为人教A版(2007)教材必修4中的“3.1.1两角差的余弦公式”.纵观两节课,两位教师的差异主要体现在公式的推导上.1公式究竟用什么方法推导两角差的余弦公式作为三角恒等变换公式中的“母公式”,其推导过程不仅极其重要,而且能够为后续两角和、二倍角等公式的证明提供方法借鉴.

“问题解决”中推理教学的策略--以“两角差的余弦公式”为例

本文围绕高中数学教学实践,以“两角差的余弦公式”为例,基于“问题解决”对推理教学全过程的设计展开分析,旨在培养学生的逻辑推理素养和提升学生的问题解决能力.

两角和与差的三角公式应用剖析

两角和与差的三角公式是三角变换的基础,在三角函数求值、化简、逆向或变形、辅助角公式及三角形中有广泛的应用.

基于目标矩阵的高中数学教材分析——以“两角差的余弦公式”课题为例

一、从一个现象说起 “两角差的余弦公式”课题是高中数学必修4的内容，也是三角恒等变换的起始内容，在人教版教材中，它被安排在三角函数和平面向量之后学习．而在传统数学课堂中教师也往往按照这条主线依次进行教学。并未做什么变化．但近日笔者发现，

一次刻骨铭心的蜕变——记“3.1.1两角差的余弦公式”研究试验课的始末

针对“两角差的余弦公式”的教材内容，从利用三角函数线探究两角差的余弦公式，利用向量探究两角差的余弦公式、探究两角差的余弦公式的一般结论三个方面，设计了八个问题，并逐一回答．通过这种方式解读了教材，呈现了对教材的理解，并写出了教学设计和实践后的反思．

指向数学抽象素养的课堂教学研究——透过“两角差的余弦公式”的视点

从具体到抽象,是数学教学必须遵循的规律.由于数学这门学科特点之一就是具有高度的抽象性,所以数学教学必须把发展学生的抽象思维作为一项主要目标.“两角差的余弦公式”具有丰富的数学抽象思维特点,可以据此特点,指向培养数学抽象的核心素养,实现相应的数学教学目标.