数形结合巧解“希望杯”赛题

数形结合是中学数学的重要思想方法，解竞赛题尤其能起到出奇制胜的作用．

一道“希望杯”竞赛题的研究

题目：已知a,b∈R＋,且ab=2,则b/2＋a2＋a/2=b2的最小值是___ （第二十一届“希望杯”高二第2试） 本文从二个角度对问题进行研究，先对问题作一题多解，然后对问题作多方面变式，供大家参考．

第25届“希望杯”高二二试第21题解法探究

分析该题求参数的取值范围，此类问题可以通过变量分离，转化成函数的最值问题，而求最值的常用方法有运用一元二次函数、导数、基本不等式、三角函数的有界性、某些特殊函数的性质等．

一道“希望杯”培训题的解法探究

题目已知z，y，z∈R^＋，且x＋2y＋3z=1，1/x＋2/y＋3/z的最小值是__．

加强赛题研究 领悟赛题内涵——赏析经久不衰的“希望杯”竞赛热点:分段函数

分段函数是一类重要的函数，它能有效地考查函数的概念、符号及性质，体现了分类讨论、数形结合等思想方法，对优化学生的思维品质十分有益，是各级各类竞赛的重要内容．在“希望杯”高中数学竞赛走过的十七载春秋中，涌现出了许多优美、新颖、多姿多彩的分段函数题，现将其分类提出与读者共同赏析．

不等式的两个性质在“希望杯”赛题中的应用

在数学竞赛中，常会遇到求最大值、最小值和不等式的证明问题，这类问题解法灵活，构思新颖，有时会感到难以下手。本文介绍不等式的两个性质，谈谈在这方面的应用，希望对同学们有所帮助。

从一道“希望杯”赛题引出的一个圆锥曲线性质

题目 已知双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1（a〉0,b〉0）的两条渐近线的斜率之积为-3，左、右两支上分别有动点A和B．（1）若经过点D（0，5a）的直线AB的斜率为1，且→AD＝λ→DB，求实数λ的值；（2）设点A关于x轴的对称点为M．若直线AB、MB分别与x轴交于点P、Q，O为坐标原点．证明：OP·OQ=a^2。

一道“希望杯”赛题的解法赏析

下面仅就初二年级同学所学几何知识的范围，探究此题的几种解法，供读者赏析．

巧解“希望杯”竞赛题

例1.一个分数,如果分子减去3,化简后得1/3.如果分子加上3,化简后得5/6.原分数是（ ）.（第十四届小学“希望杯”全国数学邀请赛六年级〈特2〉第1试第3题）

3.用arcsinz＋arccosx=π／2解“希望杯”赛题（高一、高二、高三）

arcsinx与arccosx常出现在各类反三角函数问题中，若能抓住它们之间的关系：arcsinx+arccosx=π/2（|x|≤1）,问题就能迎刃而解，请看几例．

“希望杯”中的创新题8则(高一)

1.对于函数f(x)与g(x),规定:当f(x)≤g(x)时,f(x)※g(x)=f(x);当f(x)>g(x)时,f(x)※g(x)=g(x).已知f(x)=3-x,g(x)=(2x+5)(1/2),求f(x)※g(x)的最大值. (第8届97年高一2试) 2.在xoy平面内。

巧解“希望杯”赛题

例1.有110张相同的长方形纸片,每张长方形纸的长比宽多10厘米,将这些纸片按如下左图无重合连续摆放,可以摆成长是2750厘米的长方形,将这些纸片按如下右图无重合连续摆放,可以摆成长是（ ）厘米的长方形.（第十四届小学“希望杯”全国数学邀请赛四年级第1试第3题）

巧解“希望杯”试题

例1．一个长方形的相框长为40厘米，宽为32厘米，放入一张长为32厘米，宽为28厘米的相片，则相框中没有被照片覆盖的部分的面积是（ ）平方厘米。（第十三届小学“希望杯”全国数学邀请赛第1试·四年级第12题）

第23届“希望杯”向量试题解法探究

恰当选择向量基底，同时灵活选择回路路径，利用共线线段成比例性质和平面向量基本定理等结论进行向量的加法，减法和数乘运算，可充分发挥向量“数形结合”的特征，展现向量之“数”的特色和“形”的魅力，减少思维量和运算量，从而能有效地完成问题的解答．下面举例说明．

放缩法在“希望杯”中的应用

初中数学竞赛中常用的放缩技巧有：（1）舍弃（或添加）一些项；（2）在分式中放大（或缩小）分子（或分母）；（3）应用已知不等式或基本不等式进行放缩．但不论是放大还是缩小都要遵循不等式的传递性，保证变换的连续性．下面结合具体实例谈谈放缩法在解决“希望杯”某些试题中的应用．

关于“希望杯”培训题解法的一些优化与祢充

本人对第22届“希望杯”初一年级和初二年级的培训题及解法做了认真的研究，发现有许多题编制得相当不错，解法具有发散性，给学生以更为广阔的思考空间，对于培养学生的思维能力极其有利，同时也发现个别题的解法有值得商榷的地方，这里对一些题目的解法做一些补充或优化．

2．对11届“希望杯”高一第2试第4题的研究（高一）

题 In the four-digit number abcd，a≠b≠c≠d，thn the maximum of |a-b|+|b-c|+|c-d|+|d-a|is ( )

一道“希望杯”赛题的解法与推广

该问题设计新颖独特，文字简洁明了，知识内涵丰富，将多方面的知识交汇在一起，是一道不可多得的好题，本文给出问题的多种解法和推广，供读者参考．

一道“希望杯”解析几何赛题的解法与推广

题目已知平面直角坐标系xOy内的以原点为圆心的单位圆上有一点P，过点P有一个动圆与两坐标轴均相切，则此圆的半径的最大值是（ ）

“希望杯”中的整数解问题(初一、初二、初三)

在04年的“希望杯”全国数学邀请赛中,出现了许多涉及整数解的竞赛题.其中,题目的命题方式新颖,涉及面宽、范围广,需要灵活地运用相关概念、性质、方法和技巧才能解决,令人耳目一新,对培养参赛学生高层次的数学思维十分有益.下面以04年“希望杯”试题为例,归纳一下求解这类问题的思想方法.