美妙的解析共轴圆系

采用两圆中的一圆及等幂轴方程构成“解析共轴圆系方程”，比“传统”的两圆同用的过“交点”的圆系方程方法更筒捷。

解析交点圆系方程的几何意义——读《两圆无交点,圆系为何意》有感

笔者阅读了文献后，对作者的研究精神深表敬意．不过，笔者认为文中给出的结论似乎有些牵强，以至于作者自己也承认结论没有实际意义．因此，笔者对“两圆相离、内含时，圆系方程没有实际意义”的说法心存疑虑很多中学数学竞赛资料提到交点圆系方程，但是均未能给出交点圆系方程的由来．对此笔者近期思索了一些相关问题，特撰文与大家商榷，以期通过定义距径平方差揭开圆系方程的面纱．

共轴圆系理论的一个注记

在许多解析几何的著作中,有关共轴圆系理论是以如下方式阐述的: 到两不同心的已知圆Ci: fi（x,y）=x2+y2+Dix+Eiy+Fi=0 （i=1,2）的切线长相等的点的轨迹称为此两圆的根轴,共根轴的圆系称为共轴圆系。共轴圆系的方程为f1+λf2=x2+y2+D1x+E1y+F1+λ（x2+y2+D2x+E2y+F2）=0,其中λ为不等于-1的任意常数。

巧用圆系方程简化解题过程

在解析几何中，符合特定条件的某些圆构成一个圆系，一个圆系所具有的共同形式的方程称为圆系方程．常用的圆系方程有如下几种：

解析几何中的“系”类方程

在解析几何中有两类常见的“系”类方程：一类为直线系方程,一类为圆系方程,下面我们就主要从这两方面进行归纳,以便帮助同学们更便捷的解决此类问题.一、直线系方程具有某种共同性质（过某点、共斜率等）的直线的集合,叫做直线系.它的方程叫做直线系方程,直线系方程的特征是含参数的二元一次方程.接下来我们共同探讨几类常见的直线系方程.

解说直线系方程与圆系方程

直线系方程与圆系方程在平面解析几何的学习过程中占有重要的地位．下面就它们各自的特点进行简单的归纳，希望对学生的学习有所帮助．

例析几类常见圆系方程的应用

在解析几何中，有关圆的问题频繁出现，具有某种共同性质的圆的集合叫做具有这一性质的圆系．利用圆系知识来求解有关问题，往往简捷明快，事半功倍．下面就几种常见圆系的一些情况来讨论．

关于圆系方程的一个补充

在解析几何中,涉及到求过两圆交点的圆方程,求过一直线和一圆的交点的圆方程时,设圆系方程来解是一个非常快捷的一个方法,但没有给出圆系方程一定表示一个圆的证明,本文拟补出这个证明.(I)如果直线1:Ax+By+C=0与圆C:x^2+y^2+Dx+Ey+F=0相交,那么过两交点的圆可表示为x^2+y^2+Dx+Ey+F十λ(Ax+By+C)=0 (1)(λ∈R)(1)圆过交点的证明略去(2)下面证明方程(1)一定是一个圆方程.证明:(1)经过整理可改写为x^2+y^2+(D+λA)x+(E+λB)y+F+λC=0,证明方程(1)

一道圆系方程的变式探究

在解析几何问题中,我们接触到的轨迹方程常常都是关于点的轨迹.当某种曲线(以圆为例)按照某种规律进行变化时,也可形成相应的轨迹(本文称其为“圆系”).那么这样的“圆系”会满足什么规律呢?“圆系”方程,顾名思义即是满足某类条件的一系列的“圆”的方程.

科学备考新指向——坐标系与参数方程篇

高考对这部分内容主要考查平面直角坐标系中的伸缩变换、直线和圆的极坐标方程、参数方程与普通方程的互化、常见曲线的参数方程及参数方程的简单应用,同时考查直线与曲线的位置关系等解析几何知识。

微课《椭圆及其标准方程2》

本节课是人教A版教材选择性必修第三章第1节的第2课时,学生已初步掌握了解析几何研究问题的主要方法,并在平面直角坐标系中研究了直线、圆、椭圆基本的几何图形。在第1课时,学生已经从"距离"这个视角得到了椭圆的第一定义并通过坐标法得到了椭圆的标准方程,本节课主要是通过椭圆与圆的联系,从"斜率"这个视角来认识椭圆,得到椭圆的第三定义,并且通过椭圆与圆的内在联系,得到椭圆的一些性质。

圆锥曲线参数方程在解题中的应用

在平面解析几何中,有关圆锥曲线方程的一些应用题,解法是比较复杂的,为了避开繁琐的运算,可应用参数方程解题,把代数运算转化为三角运算。例1.设TT′是椭圆的任一切线介于长轴两端切线AT、A′T′间的线段,则以TT′为直径的圆必过焦点F、F′。证:设椭圆在直角坐标系中的参数方程为x=acosθ y=bsinθ,过椭圆上任一点(acosθ,bsinθ)的切线方程为xcosθ/a+ysinθ/b=1;

共轴圆系方程c_1+λc_2=0中参数λ意义的解释

共轴圆系方程ｃ１＋λｃ２＝０中参数λ意义的解释吴运财（辽宁省大连大学数学系１１６６２２）中心直线系方程ｌ１＋μｌ２＝０中参数μ的几何意义在许多刊物中研究过，下面我们从初等几何、解析几何、高等几何三个不同侧面来研究共轴圆系方程ｃ１＋λｃ２＝０①中参数的...

圆的渐近线与等速螺线

作为“参数方程”和“极坐标方程”的应用,现行高中《平面解析几何》继“二次曲线”之后,介绍了圆的渐开线和等速螺线.这两种曲线是否存在某种联系呢?它们有无共同之处,又有哪些不同之点?本文将在教材的基础上。

有趣的阿波罗尼斯圆

引例设A（-c,0）、B（c,0）（c>0）为两定点,动点P到点A的距离与到点B的距离之比为定值a（a>0）,求点P的轨迹。解析设点P的坐标为（x,y）。

圆系方程法释疑

利用各种“圆系方程”来解某些关于圆与圆，圆与直线相交或相切的解析几何习题，能简化解题步骤，快速而准确地得到结果．但是，教师往往没太注意给学生介绍这种方法的方式和时机，使很多学生对此方法只是一知半解，影响其正确和灵活运用．“百度知道”中就看到有不少网友（学生）提过相关问题．从所提的问题可见提问者初次接触此方法时感到一头雾水，没有真正理解和掌握．而所提供的答案也没有解释透彻，大多是含糊其词．如一位网友提到“圆系方程是怎么得来”的问题，

一个素数和一个素数的k次方和问题

设k≥ 2 ,Hk 表示一个正整数n的集合 ,使对任意的正整数q ,同余方程a +bk≡n(modq)在模q的既约剩余系中有解a ,b .Ek(x)表示n≤x ,n∈Hk,但不能表成p1+p2 k=n的数的个数 ,则在GRH下有Ek(x) x1-2h(k)4 k- 1 +ε,这里h( 2 ) =316 ;k>2 ,h(k) =4k-12× ( 3× 4k -2 +1)k.

等幂轴及其应用

本文给出等幂轴的几何做法,并通过构造共轴圆系方程来解决解析几何中直线与圆的相关问题。

巧用圆锥曲线系解题

对于有些解析几何题,正面思考或按常规方法求解较难时,若能利用圆锥曲线系,巧设未知数,往往能起到事半功倍的效果,下举例说明.一、得用共交点的圆锥曲线系解题一般地过圆锥曲线C1:f(x,y)=0与圆锥曲线C2:g(x,y)=0的交点的圆锥曲线系方程都可以表示成:f(x,y)+λg(x,y)=0(λ≠-1)(不包括圆锥曲线C2),如过圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F=0与圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0的交点的圆系方程为:x2+y2+D1x+E1y+F+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ≠-1).例1已知圆C1:x2+y2+3x+4y+3=0,圆C2:x2+y2+4x+5y-1=0,求过已知两圆的交点,且过原点的圆的方程.解由已知不妨设过已知两圆的交点圆的方程为:x2+y2+3x+4y+3+λ(x2+y2+4x+5y-1)=0(λ≠-1).又圆过原点,将(0,0)代入圆方程可解得λ=3,从而所求的方程为:4x2+4y2+15x+19y=0.

认准直线系 解好相关题

直线是解析几何中简单却又变化丰富、应用广泛的内容之一.直线系方程是指含有某些特征的一系列直线的总称.