一种风向监督双流神经网络--以一维Burgers方程求解为例

针对一维Burgers方程下单一建模方式难以充分考虑不同阶段风向对系数的影响比重,无法有效获得各节点间的关联信息的问题,本文提出了一种风向监督双流神经网络分别预测上下风向的有限差分系数。同时设计了一种风向判断模块,实现了对预测得到有限差分系数的权重融合。通过风向监督双流神经网络,并结合先验知识对学得的系数分配一定的权重,以突出上下风向对预测结果的不同影响,可以有效实现对不同风向上的点分别进行预测,使得空间结构特征信息挖掘更加充分,从而提高差分系数预测的精度。在比传统数值求解方法网格分辨率粗4~8倍的同时,提高了谷歌团队工作的精度,以此提高了计算的速度。

一维Burgers方程的时间/空间有限元方法研究

结合稳定化思想 ,对一维Burgers方程的空间 /时间有限元方法 ,进行了一般性的讨论 .提出了相应于此问题的空间 /时间有限元格式 ,并在适当的假设条件下 ,证明了一般性的误差结果 .

时空耦合谱元方法求解一维Burgers方程

针对Burgers方程在空间离散格式与时间离散格式方面的精度匹配问题,提出了一种时空耦合谱元方法,求解了一维Burgers方程。求解时在时间及空间方向同时采用了谱元方法离散方程,推导了求解过程,比较了空间方向采用谱元离散结合时间方向分别采用向后欧拉方法、四阶Runge-Kutta方法和四阶Adams-Bashforth方法的数值精度以及时空匹配特性,研究了时间方向网格单元数及插值节点数对时空耦合谱元方法数值精度的影响。研究显示:时空耦合谱元方法能够求解Burgers方程且与传统的时间差分方法相比能够获得更高的数值精度;随着空间方向单元内插值阶数的不断增大,时空耦合谱元方法的数值精度不断提高,且保留了指数阶收敛的特点,具有较好的时空匹配特性;当空间网格划分方式固定时,时间方向上增加单元数或单元内插值阶数,对数值精度提高影响不大,这一结论与相关研究结果一致。研究内容对引入与空间谱元方法精度相匹配的时间离散格式具有指导意义。

一维Burgers方程的AGE-3方法和并行计算

为研究Burgers方程适合于并行机上运行的高效率的计算方法,提出了Burgers方程AGE-3的一种差分格式以及并行数值计算方法,得到了该方法关于稳定性以及并行兼顾的结果.数值例子表明了方法具有良好的使用性和有效性.

一维Burgers方程的FD-SD法的后验误差估计及空间网格调节技术

讨论了一维Burgers方程的差分 流线扩散法的后验误差估计 ,并依此来实现空间网格局部的合理调整 。

一维Burgers方程初边值问题的小波-Galerkin解法

利用Daubechies紧支集正交尺度函数作为小波-Galerkin方法中的测试函数,讨论一维Burgers方程初边值问题的小波解.数值实验的结果表明,小波-Galerkin方法是数值求解Burgers方程的有效算法.

一维Burgers方程的格子Boltzmann模型

从对流扩散的角度给出了一维Ｂｕｒｇｅｒｓ方程的格子Ｂｏｌｔｚｍａｎｎ模型，分析了模型的特点，并和模拟结果进行了比较．

基于格子Boltzmann方法的一维Burgers方程的数值模拟

基于格子Boltzmann方法(LBM)的一维Burgers方程的数值解法,已有2-bit和4-bit模型。文中通过选择合适的离散速度模型构造出恰当的平衡态分布函数;然后,利用单松弛的格子Bhatnagar-Gross-Krook模型、ChapmanEnskog展开和多尺度技术,提出了用于求解一维Burgers方程的3-bit的格子Boltzmann模型,即D1Q3模型,并进行了数值实验。实验结果表明,该方法的数值解与解析解吻合的程度很好,且误差比现有文献中的误差更小,从而验证了格子Boltzamnn模型的有效性。

完全非内插半拉格朗日格式在一维Burgers方程及二维浅水波方程上的应用

在作者过去提出的完全非内插半拉格朗日格式的基础上 ,针对半拉格朗日格式由于内插带来预报场人为的光滑性问题 ,进一步发展了这种计算格式 ,证明了此格式的计算稳定性。为检验这种新的计算格式的性能 ,在一维和二维问题上进行了应用。在一维问题中采用了一维无粘Burgers方程 (方程中有突变点 ) ;二维问题采用了浅水波方程 ,同时将这些计算结果与Ritchie方案及欧拉方案或一般半拉格朗日内插方案的计算结果进行了比较 ,发现新格式消除了内插和预报场的人为光滑 ,并且计算精度有一定程度的提高 ,这为以后将此格式推广到全球谱模式打下了基础。

一维Burgers方程的一类交替分组的AGE方法

给出了一维Burgers方程的交替分组格式,并得到该方法的无条件稳定性及具有并行性兼顾的结果.能够适合在并行计算系统上使用.文中还进行了并行计算的数值实验.

一维Burgers方程的一类交替分段并行算法

研究并行算法解决应用并行计算机完成规模尽可能大的偏微分方程的数值求解问题。利用Hopf-Cole变换,将一维非线性Burgers方程转化为线性扩散方程,基于第二类Saul’yev型非对称格式和Crank-Nicolson格式对扩散方程进行差分离散,建立解Burgers方程的交替分段并行差分格式,并讨论该方法的稳定性,给出了数值算例。此算法把剖分节点分成若干组,在每组上构造能够独立求解的差分方程,因此具有并行本性,适合在高性能多处理器的并行计算机上使用。数值试验的结果表明此方法是有效的,且有较高的精度。

一维Burgers方程的交替分组六点方法

利用Hopf-Cole变换,将一维非线性Burgers方程转化为线性扩散方程,再基于第二类Saul′yev型非对称格式、Crank-Nicolson格式和扩散方程的半隐格式对此扩散方程进行差分离散,建立解Burgers方程的新的并行算法,并讨论了方法的稳定性,数值试验的结果表明此方法有效,且有较高的精度。

基于梯度增强物理信息神经网络的一维弱噪声随机Burgers方程求解

物理信息神经网络PINNs (Physics-Informed Neural Networks, PINNs)因其良好的可解释性和泛化能力,被当作求解偏微分方程的一类通用逼近器。传统PINNs通过在损失函数中引入方程残差,将方程所携带的物理先验信息编译至网络中,但在求解实际问题时往往需要数量足够大的训练数据集,其输出才具有较好的网络表现力和求解精度。针对一维弱噪声随机Burgers方程,提出梯度增强的物理信息神经网络(Gradient-enhanced Physics-Informed Neural Networks, G-PINNs),采用方程导数的残差作为一种优化的软约束指导网络迭代更新,理论分析PINNs与G-PINNs两种网络架构寻找方程计算域内最优解的能力。改变数据集的噪声比例和配置点数量,评估两种网络架构拟合一维Burgers方程解结构的性能差异。数值算例表明,G-PINNs在无噪声、1%、3%和5%弱噪声下求解一维Burgers方程的精度分别提高了约80%、44%、31%、和20%。相较于传统PINNs,当迭代次数相同时G-PINNs在无噪声与弱噪声的情况下均能在更少的数据集上拟合一维Burgers方程的解结构,获得精度更高的预测解。

一维Burgers方程定解问题的同伦分析解

针对一类Burgers方程定解问题,以Burgers方程的线性部分作为辅助线性算子,构造出相应的同伦方程,给出了同伦方程的同伦分析解.与已有结果进行比较,该同伦分析解有更好的数值逼近效果,能反映出真实的物理现象.

定常Burgers方程的周期解

本文首先对Burgers方程的周期解关于粘性系数ε作幂级数展开,得到逼近函数之间的递推关系。然后,通过对逼近函数作Fourier级数展开,给出了逼近函数Fourier展开的通项形式,并证明了每个逼近函数的Fourier级数是一致且绝对收敛的。

基于PINN的Burgers方程求解模型

传统的数值求解方法面临维数灾难和效率与精度平衡问题,而基于数据驱动的神经网络求解方法又存在训练量冗余和不可解释性问题。针对此问题,物理信息神经网络(Physical Information Neural Networks,PINNs)关注了训练数据中隐含的物理先验知识,融合了神经网络拟合复杂变量的能力,赋予了传统神经网络所缺乏的物理可解释性。应用该算法模型,提出了一种基于PINN的Burgers方程求解模型,该算法模型在训练中施加物理信息约束,因此能用少量的训练样本学习预测到分布在时空域上的偏微分方程模型。实验结果表明,在1+1维Burgers方程算例下,所提方法相比于经典的机器学习算法能有效捕抓到方程的变化并进行精确模拟,相比于有限差分法,可以大幅度缩短模拟时间。通过对不同的网络参数进行比较实验,所提方法在10%的噪声破坏下能产生合理的识别准确度,网络逼近方程的待定系数误差在0.001以内。

有限差分-配点法求解二维Burgers方程

将重心插值配点法结合Crank-Nicolson差分格式来求解Burgers方程.首先,利用Hopf-Cole变换将Burgers方程转化为线性热传导方程;空间方向采用重心插值配点法进行离散,时间方向采用Crank-Nicolson格式离散,导出对应的线性代数方程组,并对此计算格式进行相容性分析;最后,通过数值算例验证此计算格式具有高精度和有效性.

(3+1)维Jimbo-Miwa方程的分离变量解与相互作用

构造(3+1)维Jimbo-Miwa(J-M)方程由任意函数组成的分离变量解,并分析解的相互作用。通过一种函数变换,将(3+1)维Jimbo-Miwa(J-M)方程的求解问题转化为常微分方程和非线性代数方程组的求解问题。借助符号计算系统Mathematica求出非线性代数方程组的解。用常微分方程的解与非线性代数方程组的解,构造(3+1)维Jimbo-Miwa(J-M)方程由任意函数组成的分离变量解。根据函数的任意性,通过图像分析了解其相互作用。

Burgers方程的奇摄动初值问题的激波解

利用合成渐近展开法研究具有初值间断的Burgers方程的奇摄动问题.初始条件的突变使得问题的解在过渡层产生激波.首先,在激波位置两侧分别寻求具有边界层性质的近似式;再使用衔接法将对应的曲面光滑地衔接,构成激波解的形式近似;最后,运用渐近展开理论分析解的渐近性质,得到一致有效的渐近展开式.

二维Burgers方程的AGE方法与并行计算

给出了求解二维Ｂｕｒｇｅｒｓ方程的交替分组显式（ＡＧＥ）方法，运用线性化近似分析证明了方法是绝对稳定的，方法具有明显的并行性质。还提供了在共享式存储并行机上的数值例子。